Подведение итогов в статье по квантовой оптике

Question

Подведение итогов в статье по квантовой оптике

В. Вольтера

Я листаю газету « Мгновения $P$ функции и неклассические глубины квантовых состояний », которая содержит следующий отрывок:

А. Тепловое состояние

Матрица плотности теплового состояния может быть записана как
$\begin{matrix} (3.1) & {\hat{р}}_{й} "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} \frac{⟨ н ⟩^{н}}{(⟨ н ⟩ + 1)^{н + 1}} | н ⟩ ⟨ н | . \end{matrix}$ $\hat{\rho}_{\text{th}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\langle n\rangle^n}{\bigl(\langle n\rangle + 1\bigr)^{n + 1}}\lvert n\rangle\langle n\rvert.\tag{3.1}$ Таким образом, мы можем получить моменты следующим образом: $\begin{aligned} {мю}_{к, л} & "=" Тр [({\hat{а}}^{†})^{л} (\hat{а})^{к} {\hat{р}}_{й}] \\ "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} \frac{⟨ н ⟩^{н}}{(⟨ н ⟩ + 1)^{н + 1}} ⟨ н | ({\hat{а}}^{†})^{л} (\hat{а})^{к} | н ⟩ \\ "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} \frac{⟨ н ⟩^{н}}{(⟨ н ⟩ + 1)^{н + 1}} \frac{н!}{(н - к)!} {дельта}_{к, л} \\ (3.2) & "=" к! ⟨ н ⟩^{к} {дельта}_{к, л} . \end{aligned}$ $\begin{align}\mu_{k,l} &= \operatorname{Tr}\bigl[(\hat{a}^\dagger)^l (\hat{a})^k \hat{\rho}_{\text{th}}\bigr] \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\langle n\rangle^n}{\bigl(\langle n\rangle + 1\bigr)^{n + 1}}\langle n\rvert(\hat{a}^\dagger)^l (\hat{a})^k\lvert n\rangle \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\langle n\rangle^n}{\bigl(\langle n\rangle + 1\bigr)^{n + 1}} \frac{n!}{(n - k)!} \delta_{k,l} \\ &= k!\langle n\rangle^k \delta_{k,l}.\tag{3.2} \end{align}$

Я хочу понять последний шаг уравнения. 3.2. Как осуществляется это суммирование, чтобы получить окончательный ответ?

Кнчжоу

Подсказка: используйте биномиальную теорему.

Суньям

Окончательный итог должен быть из

k

$k$ к

\infty

$\infty$ .

По симметрии

Если вы хотите задать новый вопрос, пожалуйста, задайте его как новый вопрос, а не редактируйте существующий до неузнаваемости. Цель ответов на вопросы на этом сайте состоит не только в том, чтобы помочь человеку, задавшему вопрос, но и в том, чтобы помочь другим людям, у которых может возникнуть такой же вопрос. На этот вопрос теперь есть ответы, которые не имеют никакого отношения к тому, что вы спрашиваете, что усложняет задачу другим людям, ищущим ответы. Пожалуйста, отмените свое редактирование и задайте новый вопрос отдельно.

В. Вольтера

Я сожалею об этой ошибке. Я вспомню вопрос и опубликую его снова.

Ответы (2)

Подведение итогов в статье по квантовой оптике

Подсказка: используйте биномиальную теорему.
Окончательный итог должен быть из $k$ к $\infty$ .
Если вы хотите задать новый вопрос, пожалуйста, задайте его как новый вопрос, а не редактируйте существующий до неузнаваемости. Цель ответов на вопросы на этом сайте состоит не только в том, чтобы помочь человеку, задавшему вопрос, но и в том, чтобы помочь другим людям, у которых может возникнуть такой же вопрос. На этот вопрос теперь есть ответы, которые не имеют никакого отношения к тому, что вы спрашиваете, что усложняет задачу другим людям, ищущим ответы. Пожалуйста, отмените свое редактирование и задайте новый вопрос отдельно.
Я сожалею об этой ошибке. Я вспомню вопрос и опубликую его снова.

Qмеханик · Answer 1

Подсказка: используйте обобщенную биномиальную теорему.

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{(1 - Икс)^{с}} "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} (с)^{н} \frac{{Икс}^{н}}{н!}, Икс, с е С, | Икс | < 1, \end{matrix}

$\frac{1}{(1-x)^s}~=~\sum_{n=0}^{\infty} (s)^n\frac{x^n}{n!}, \qquad x,s\in\mathbb{C} , \qquad|x|<1 , \tag{1}$ где

\begin{matrix} (2) & (с)^{н} "=" \frac{Г (с + н)}{Г (с)} "=" \frac{(н + с - 1)!}{(с - 1)!} \end{matrix}

$(s)^n~:=~\frac{\Gamma(s+n)}{\Gamma(s)}~=~\frac{(n+s-1)!}{(s-1)!}\tag{2}$ является символом Поххаммера / восходящим факториалом .

Я никогда не видел обозначение $(s)^n$ для символа Pochhammer - обычно я вижу его обозначенным $(s)_n$ . Есть ли какая-то конкретная причина для изменения?
По общему признанию, я тоже. Я думал, что, подняв нижний индекс до верхнего индекса, его нельзя спутать с падающим факториалом .
Справедливо - только теперь его просто перепутали с обычной силой ;-). Он четко обозначен, так что это не проблема.

Суньям · Answer 2

Суньям

Как отмечено в моем подведении итогов комментария (более $n$ ) работает от $k$ к $\infty$ как вы не можете уничтожить больше, чем $n$ фотоны в состоянии $|n\rangle$ .

Подсказка: используйте

\sum_{н "=" к}^{\infty} \frac{н!}{(н - к)!} {Икс}_{}^{н - к} "=" (\frac{г}{г Икс})_{}^{к} \frac{1}{1 - Икс}

$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{n!}{(n-k)!}x_{}^{n-k}=(\frac{d}{dx})_{}^{k}\frac{1}{1-x}$ .

В. Вольтера

Спасибо @Sunyam. Вы имеете в виду, что в газете есть исправления? Но это способ определить след. Нужно взять сумму по всем состояниям n.

Суньям

Со вторым шагом все в порядке, но третий шаг, вероятно, может быть опечаткой, сумма должна быть от

k

$k$ к

\infty

$\infty$ (как

⟨ n | (a_{}^{†})_{}^{l} (a_{}^{})_{}^{k} | n ⟩ \neq 0

$\langle n|(a_{}^{\dagger})_{}^{l}(a_{}^{})_{}^{k}|n\rangle \neq 0$ только для

n \geq k = l

$n\geq k=l$ ).

В. Вольтера

Я до сих пор не получаю окончательного ответа. Вы достигли этого

k! ⟨ n ⟩^{k}

$k! \langle n \rangle^k$ ?

Суньям

Да. Использовать

\sum_{n = k}^{\infty} \frac{⟨ n ⟩_{}^{n}}{(1 + ⟨ n ⟩)_{}^{n + 1}} \frac{n!}{(n - k)!} = \frac{⟨ n ⟩_{}^{k}}{(1 + ⟨ n ⟩)_{}^{k + 1}} \sum_{n = k}^{\infty} (\frac{⟨ n ⟩_{}^{}}{1 + ⟨ n ⟩_{}^{}})_{}^{n - k} \frac{n!}{(n - k)!} = \frac{⟨ n ⟩_{}^{k}}{(1 + ⟨ n ⟩)_{}^{k + 1}} (\frac{d}{d x})_{}^{k} (\frac{1}{1 - x}) |_{x = \frac{⟨ n ⟩_{}^{}}{1 + ⟨ n ⟩_{}^{}}} = k! ⟨ n ⟩_{}^{k}

$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{\langle n \rangle_{}^{n}}{(1 + \langle n \rangle)_{}^{n+1}}\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{\langle n \rangle_{}^{k}}{(1 + \langle n \rangle)_{}^{k+1}}\sum_{n=k}^{\infty}(\frac{\langle n \rangle_{}^{}}{1 + \langle n \rangle_{}^{}})_{}^{n-k}\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{\langle n \rangle_{}^{k}}{(1 + \langle n \rangle)_{}^{k+1}}(\frac{d}{dx})_{}^{k}(\frac{1}{1-x})|_{x=\frac{\langle n \rangle_{}^{}}{1 + \langle n \rangle_{}^{}}}=k!\langle n \rangle_{}^{k}$

Подведение итогов в статье по квантовой оптике

В. Вольтера

А. Тепловое состояние

Кнчжоу

Суньям

По симметрии

В. Вольтера

Ответы (2)

Qмеханик

Эмилио Писанти

Qмеханик

Эмилио Писанти

Qмеханик

Суньям

В. Вольтера

Суньям

В. Вольтера

Суньям

Представление матриц плотности спина-1

Почему объекты поглощают все цвета, но переизлучают только некоторые из них на уровне КМ?

Являются ли когерентные состояния света «классическими» или «квантовыми»?

Как записать выходное состояние светоделителя?

Как измерить небольшое изменение угла поляризации светового луча? Какой наименьший измеримый угол?

Один фотон через призму

движется ли фотон по спирали в оптическом вихре?

Определение пути света через нанолинзу

Что заставляет атомы иметь свои определенные цвета?

ограничения на гауссовскую коробку света