Являются ли когерентные состояния света «классическими» или «квантовыми»?

Когерентные состояния — это квантовые состояния, но они обладают свойствами, которые отражают классические состояния в некотором смысле, который можно уточнить.

Чтобы быть конкретным, давайте рассмотрим когерентные состояния в контексте простого гармонического квантового осциллятора, которые имеют именно то выражение, которое вы написали в вопросе. Можно продемонстрировать следующие два факта (которые я настоятельно рекомендую вам доказать самому себе);

• Ожидаемое значение оператора положения в когерентном состоянии равно

  $$\begin{align} \langle\alpha|\hat x|\alpha\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\alpha + \alpha^*) \end{align}$$

• Эволюция когерентного состояния во времени достигается простым изменением во времени его собственного значения по фазе;

  $$\begin{align} e^{-it \hat H/\hbar}|\alpha\rangle = |\alpha(t)\rangle, \qquad \alpha(t):=e^{-i\omega t}\alpha. \end{align}$$ Другими словами, если система находится в когерентном состоянии, то она и остается в когерентном состоянии!

Если вы соедините эти два факта вместе, то обнаружите, что математическое ожидание оператора позиции имеет следующее поведение во времени в когерентном состоянии:

• Среднее значение положения системы колеблется подобно положению классического простого гармонического осциллятора.

Это один из смыслов, в котором когерентное состояние является классическим. Другой факт, что

• Когерентные состояния минимизируют квантовую неопределенность в том смысле, что они насыщают границу неопределенности Гейзенберга; $$\begin{align} \sigma_x\sigma_p = \frac{\hbar}{2} \end{align}$$ В той мере, в какой неопределенность является чисто квантовым эффектом, минимизация этого эффекта может интерпретироваться как максимизация «классичности».

Когерентные состояния, хотя и строго квантовые, «изоморфны» классическим состояниям. Точно так же они изоморфны однофотонным состояниям.

Существуют биективные отображения между любой парой следующих трех наборов: (i) набор всех квантовых когерентных состояний (ii) набор всех однофотонных состояний и (iii) и набор всех решений уравнений Максвелла. Я больше говорю об этом утверждении в своем ответе здесь, а также здесь . Таким образом, любое решение уравнений Максвелла можно рассматривать как определяющее либо классическое состояние, либо квантовое когерентное состояние. Когда мы делаем последнее, мы используем следующее особое свойство когерентного состояния: оно однозначно и полностью определяется средствами$\vec{E}$а также$\vec{H}$наблюдаемые как функции пространства и времени. Таким образом, хотя эти средние значения внешне не совпадают с квантовым состоянием, точно так же, как многие классические функции плотности вероятности, например гауссовы, определяются большим количеством параметров, чем только их средние значения, для частного случая когерентных состояний они могут быть интерпретированы как таковые (точно так же, как классическое экспоненциальное и пуассоновское распределения вероятностей однозначно определяются своими средствами).

Так что, если хотите, когерентные состояния — это то, как мы последовательно встраиваем классические состояния в гораздо большую квантовую теорию световых полей. Это «окно» из классического в квантовый Мир. Эта точка зрения также лежит в основе радикального различия между сложностью классических и квантовых состояний: для объема квантования существует счетно бесконечное число$\aleph_0$электромагнитные моды$\left\{(\vec{E}_j,\,\vec{H}_j)\right\}_{j=0}^\infty$.$\aleph_0$затем является мерой «сложности» такого базиса, который является одновременно базисом однофотонных состояний, а также базисом для классической суперпозиции мод, решающих уравнения Максвелла. С другой стороны, членами базиса всех состояний Фока являются счетно бесконечные последовательности натуральных чисел, такие как$\left.\left|n_1, n_2, n_3,\cdots\right.\right>$так что сама база имеет одинаковую мощность$\aleph_1$как континуум. Классическое пространство состояний представляет собой прямую сумму однофотонных подпространств, общее квантовое пространство состояний представляет собой тензорное произведение, являющееся счетным произведением счетно бесконечных подпространств.

Последнее связное свойство состояния, о котором не говорилось в других ответах, заключается в том, что его можно определить как собственный вектор оператора уничтожения.$a = \sqrt{2}^{-1}\left(\sqrt{\frac{m\,\omega}{\hbar}}\hat{x}+i\,\sqrt{\frac{\hbar}{m\,\omega}}\,\hat{p}\right)$и, как таковые, оба (i) насыщают неравенство Гейзенберга ( т.е. $\Delta x\,\Delta p = \hbar$) и (ii) равномерно распределяет неопределенность между двумя безразмерными наблюдаемыми координатами и импульсом$\sqrt{\frac{m\,\omega}{\hbar}}\hat{x}$а также$\sqrt{\frac{\hbar}{m\,\omega}}\,\hat{p}$: таким образом достигается минимальный продукт неопределенности и нет предпочтения в отношении того, где возникает ошибка измерения. В нормализованном$x,\,p$Таким образом, в квантовом фазовом пространстве (пространство распределения Вигнера ) его области неопределенности представляют собой диски минимальной площади, поэтому о нем часто говорят как о «наиболее классическом состоянии», которое может быть.

Его можно представить как изображение основного квантового состояния гармонического осциллятора.$\left.\left|0\right.\right>$под действием оператора смещения $D(\alpha) = \exp\left(\alpha\, a + \alpha^*\,a^\dagger\right)$. Этот оператор «смещает» основное состояние в вигнеровском фазовом пространстве по вектору$({\rm Re}(\alpha),\,{\rm Im}(\alpha))$но в остальном оставляет его без изменений. Можно обобщить когерентное состояние на большее множество сжатых состояний со следующим свойством. Дальнейшая операция оператора сжатия $S(\beta) = \exp\left(\beta\, a - \beta^*\,a^\dagger\right)$оставляет распределение с центром в той же точке и по-прежнему достигает минимального произведения неопределенности ( т . е . неравенство Гейзенберга насыщается до равенства), но отдает «предпочтение» точности измерений одной из наблюдаемых величин.$\hat{x},\,\hat{p}$за счет точности в другом в так называемом сжатом состоянии . Состояния формы$S(\beta)\, D(\alpha)\,\left.\left|0\right.\right>$- это весь набор состояний квантового гармонического осциллятора, которые достигают насыщения неравенства Гейзенберга.

Если когерентное состояние действительно является наиболее классическим состоянием (что означает, что среднее значение электромагнитных полей подчиняется классическим уравнениям Максвелла), то состояние, используемое в упомянутой вами статье, не является когерентным состоянием (по крайней мере, в статье arXiv), а котом. состояния !

Штат$|\alpha\rangle+|-\alpha\rangle$не когерентное состояние! Это суперпозиция двух классических состояний, что мы и подразумеваем под квантовостью.

Другими словами, когерентные состояния образуют основу, с помощью которой можно записать любое квантовое состояние, но это не означает, что все эти состояния являются такими же классическими, как когерентное состояние.

Все дело в том, какой смысл вы вкладываете в слова «квантовый» и «классический». Фоковское пространство и элементы этого пространства — понятия, принадлежащие квантовой теории излучения и не имеющие прямого отношения к состояниям излучения в классической электромагнитной теории, поэтому когерентное состояние с полным основанием можно назвать «квантовым».

Однако когерентные состояния имеют свойства, очень похожие на свойства гармонически колеблющихся стоячих волн электромагнитного поля, которые используются в классической теории микроволновых резонаторов, поэтому их часто называют «классическими» квантовыми состояниями.

Когерентные состояния являются классическими в определенном смысле, который еще не сформулирован явно, хотя Род предполагает это.

Предположим, вы хотите эволюционировать во времени взаимодействие между когерентным электромагнитным состоянием и материей. Это равносильно решению уравнения Шредингера для:

Если все это верно, то результат Моллоу (1) говорит о том, что существует каноническое преобразование этой системы, которое отображает ее в систему:

Другими словами, гамильтониан теперь имеет дополнительный внешний потенциал, зависящий от времени.$\vec{E_{k,\alpha}}$потому что это не полевой оператор! Этот потенциал имеет ту же амплитуду и частоту, что и исходное когерентное состояние. Квантованное поле все еще присутствует, но начинается в вакуумном состоянии. Это означает, что система эволюционирует точно так же, как атом в соответствующем внешнем потенциале, за исключением возможности подвергнуться влиянию испускаемых ею фотонов (что часто будет незначительным по сравнению с большим внешним полем).

Вывод состоит в том, что когерентные состояния являются «классическими» в том смысле, что их можно заменить внешним потенциалом. Это обосновывает, среди прочего, полуклассическую модель взаимодействия света с веществом, повсеместно распространенную в физике атома и конденсированного состояния.

Из многих квантово-механически возможных состояний осциллятора (будь то механическое или световые волны) мы почти исключительно наблюдаем когерентные состояния. В некотором смысле, это состояния, в которых неопределенность распределена равномерно, так что каждая неопределенная величина масштабируется как$\sqrt{N}$за$N$кванты (например, фотоны или кванты энергии в генераторе). Все остальное, как правило, довольно сложно сгенерировать экспериментально, потому что нужно связать состояния нетривиальным образом, что несколько необычно для обычно невзаимодействующих бозонов, которыми являются эти кванты. Там, где нам удается получить инженерные состояния, значительно отличающиеся от когерентных состояний, мы часто подчеркиваем этот факт, называя их сжатыми (при этом некоторые неопределенности растут быстрее, а некоторые медленнее, чем$\sqrt{N}$и, следовательно, выглядят как круг, сжатый в эллипс при совместном построении) или неклассические состояния.

Вполне вероятно, что обнаруженные вами квантовые (оптические) протоколы были намеренно основаны на когерентных состояниях просто потому, что лазеры (которые излучают когерентные состояния) сравнительно легко найти и ими легко управлять по сравнению со сжатыми источниками света. Однако самые ранние и простые протоколы квантовой криптографии предполагают (крайне неклассические и непрактично сложные в создании) источники одиночных фотонов, потому что их защиту от подслушивающего устройства, потенциально оснащенного какими-то неизвестными средствами для перекачки дубликатов фотонов, легче доказать, а их пропускная способность выше, когда один не нужно делать поправок на это.

Когда среднее число фотонов огромно, неопределенность Гейзенберга становится незначительной и «исчезает» (формально это выглядит как$\hbar\to 0$). Таким образом, такое когерентное состояние становится вполне классическим.