Представление матриц плотности спина-1

Question

Представление матриц плотности спина-1

оптика
Физика
квантовый спин
квантовая оптика
оператор плотности
квантовая механика

Асьер Р.

Матрицы Паули вместе с единичной матрицей могут генерировать любые $2\times 2$ матрица. Добавив условие, что матрицы должны быть эрмитовыми и иметь след 1, мы можем представить матрицы плотности для спин- $\frac{1}{2}$ системы как

р "=" \frac{1}{2} (я + п \cdot о),

$\rho=\frac{1}{2}(\mathbb{I} + \mathbf{P}\cdot\boldsymbol{\sigma}),$ где мы можем определить поляризацию

P

$\mathbf{P}$ со средними по ансамблю

[S_{i}] \propto [σ_{i}] = P_{i}

$[S_i]\propto [\sigma_i]=P_i$ .

Для спин- $1$ системы, мы можем использовать матрицы Гелл-Манна ( $\boldsymbol{\lambda})$ вместо матриц Паули для представления $3\times 3$ матрицы плотности:

р "=" \frac{1}{3} (я + Λ \cdot λ),

$\rho = \frac{1}{3}(\mathbb{I}+\boldsymbol{\Lambda}\cdot\boldsymbol{\lambda}),$ где

Λ

$\boldsymbol{\Lambda}$ вектор длины

8

$8$ . Однако матрицы Гелл-Манна не связаны напрямую со спиновыми компонентами, как матрицы Паули. Таким образом, мы можем представить эти матрицы плотности другим способом (я не могу найти никакой литературы по этому поводу):

р "=" \frac{1}{3} (я + п \cdot о + Вт \cdot Т),

$\rho=\frac{1}{3}(\mathbb{I} + \mathbf{P}\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{W}\cdot\mathbf{T}),$ где

W

$\mathbf{W}$ является вектором длины 5, и

T

$\mathbf{T}$ состоит из 5 матриц, где

Т_{я Дж} "=" \frac{1}{2} ({Дж}_{я} {Дж}_{Дж} + {Дж}_{Дж} {Дж}_{я}) - \frac{2}{3} {дельта}_{я Дж}, я, Дж е {1, 2, 3}, я \leq Дж .

$T_{ij}=\frac{1}{2}(J_iJ_j+J_jJ_i)-\frac{2}{3}\delta_{ij}, \hspace{3mm}i,j \in \{1,2,3\}, \hspace{3mm} i\leq j.$ (

J_{i}

$J_i$ операторы углового момента для спина

1

$1$ .) Тогда, я полагаю

P

$\mathbf{P}$ относится к

[J]

$[\mathbf{J}]$ так же, как и раньше, и что элементы

W

$\mathbf{W}$ связаны с

[J_{i} J_{j}]

$[J_iJ_j]$ .

Как это $T_{ij}$ называются матрицы, и где я могу прочитать об этом представлении матрицы плотности для спин- $1$ системы (та, что без матриц Гелл-Манна)? Верны ли два последних утверждения? Эти вещи упоминаются в моих заметках QM, но я нигде не могу найти ничего подобного.

Даст

У меня была аналогичная проблема с поляризацией света (фотоны имеют спин-1, их поляризация соответствует их спину). Я никогда не решал ее, но эта статья была очень полезной: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… (Хотя кажется, что у вас уже есть ее информация)

Ответы (2)

Представление матриц плотности спина-1

У меня была аналогичная проблема с поляризацией света (фотоны имеют спин-1, их поляризация соответствует их спину). Я никогда не решал ее, но эта статья была очень полезной: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… (Хотя кажется, что у вас уже есть ее информация)

Космас Захос · Answer 1

Возможно, вы плохо отзываетесь о матрицах Гелл-Манна . Все они бесследно отшельнические, но настоящие, кроме трех мнимых, $\lambda_2,\lambda_5,\lambda_7$ которые являются мнимыми антисимметричными, поэтому, умноженные на i , составляют три антисимметричных образующих SO (3) в триплетном (спин 1) представлении. Вот.

Таким образом, ваши три σ являются антисимметричными выше (с индексами 2,5,7), а ваши пять симметричных (с индексами 1,3,4,6,8) являются остальными, T , соответствующим образом нормализованными. Вместе с тождеством они представляют собой полный набор для эрмитовых матриц 3×3 и ортонормированных ,

Тр (λ_{а} λ_{б}) "=" 2 {дельта}_{а б},

$\operatorname {Tr} (\lambda_a \lambda_b)=2\delta_{ab},$ поэтому отслеживание с помощью σ для его ожидаемого значения дает вам ваш результат.

Я не думаю, что есть популярное название для антисимметричного/симметричного разделения, но если вы когда-либо понимали их (матрицы GM) структурные константы, вы полагаетесь на это самое разделение, чтобы понять, почему они такие разреженные .

Но тот же аргумент справедлив для разреженности симметричных d- коэффициентов антикоммутаторов.

То есть из очевидной симметрии матрицы

{λ_{а}, λ_{б}} "=" \frac{4}{3} {дельта}_{а б} + 2 д_{а б с} λ_{с}

$\{\lambda_a,\lambda_b\}=\frac{4}{3}\delta_{ab} +2d_{abc}\lambda_c$ где

d_{a b c}

$d_{abc}$ являются полностью симметричными константами коэффициентов, только симметричные из набора T входят в правую часть, когда обе матрицы в антикоммутаторе в левой части антисимметричны, как в вашем вопросе: d s обращается в нуль, если количество индексов из множество {2,5,7} нечетно!

В заключение, антикоммутатор любых двух σ является линейной комбинацией T s, поэтому обращение этих 6 уравнений (ограниченное бесследовостью) определяет 5 T s в терминах 3 σ s.

ZeroTheHero · Answer 2

Может быть, то, что вы ищете, это $\mathfrak{so}(3)$ базис $\mathfrak{su}(3)$ охватываемый тремя угловыми операторами и пятью квадрупольными операторами. В качестве вещественных матриц угловые моменты являются антисимметричными матрицами, а квадруполь — бесследовыми симметричными матрицами. В качестве эрмитовых операторов существуют $i$ здесь и там.

Эти матрицы были весьма популярны во времена ядерной $\mathfrak{su}(3)$ модель вращательных полос в деформированных ядрах. Google не предоставляет очевидно доступных ссылок, но две канонические ссылки

Харви, Малкольм. «Модель ядерной установки SU 3». В Достижениях в ядерной физике, стр. 67-182. Springer, Boston, MA, 1968, и оригинальные статьи Эллиотта: Elliot, JP, Proc. Рой. Soc., A 245: 128 и 562, 1958.

Он взял следующие матрицы из

Роу, Д.Дж., Ле Блан, Р. и Репка, Дж., 1989. Роторное расширение алгебры Ли (3). Journal of Physics A: Mathematical and General, 22(8), p.L309.

С $C_{ij}$ обозначая $3\times 3$ матрица с $1$ подряд $i$ и колонка $j$ , и $0$ в другом месте имеем:

\begin{aligned} л_{0} & "=" - я (С_{23} - С_{32}), л_{\pm 1} "=" - я (С_{31} - С_{13} \pm (С_{12} - С_{21}), \\ {Вопрос}_{20} & "=" 2 С_{11} - С_{22} - С_{33}, {Вопрос}_{2 \pm 1} "=" \mp \sqrt{\frac{3}{2}} (С_{12} + С_{21} \pm я С_{13} \pm я С_{31} \\ {Вопрос}_{2 \pm 2} & "=" \sqrt{\frac{3}{2}} (С_{22} - С_{33} \pm я С_{23} \pm я С_{32}) \end{aligned}

$\begin{align} L_0&=-i(C_{23}-C_{32})\, ,\quad L_{\pm 1}= -i (C_{31}-C_{13}\pm (C_{12}-C_{21})\, ,\\ Q_{20}&= 2C_{11}-C_{22}-C_{33}\, ,\quad Q_{2\pm 1}= \mp \sqrt{\frac{3}{2}}(C_{12}+C_{21}\pm i C_{13}\pm iC_{31}\\ Q_{2\pm 2}&=\sqrt{\frac{3}{2}}(C_{22}-C_{33}\pm i C_{23}\pm i C_{32}) \end{align}$ Квадрупольные моменты являются элементами

L = 2

$L=2$ тензорный оператор.

Представление матриц плотности спина-1

Асьер Р.

Даст

Ответы (2)

Космас Захос

ZeroTheHero

Подведение итогов в статье по квантовой оптике

Являются ли когерентные состояния света «классическими» или «квантовыми»?

Как записать выходное состояние светоделителя?

Один фотон через призму

Подготовка состояния frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1} {2},-\frac{1}{2}\rangle

Матричное представление светоделителя для численного расчета выходных данных на основе заданного количества фотонов (состояние Фока) на входе

Почему возбужденные состояния атома имеют энергетическую ширину?

Запутанные векторы в гильбертовом пространстве

Фаза добавляется при отражении от светоделителя?

Нормальный порядок и размытие