Как записать выходное состояние светоделителя?

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Для справки, этот подход называется вторым квантованием.

По сути, ваша путаница возникает из-за путаницы между картиной Шредингера — где развивается государство,$\ket{Ψ_{\text{out}}}≠\ket{Ψ_{\text{in}}}$) и операторы постоянны — и картина Гейзенберга — где состояние постоянно$\ket{Ψ_{\text{out}}}=\ket{Ψ_{\text{in}}}$) и операторы эволюционируют. На практике часто переключаются с одного изображения на другое (а иногда и на промежуточные изображения), в зависимости от того, что более практично.

Второй подход к квантованию представлен в картине Гейзенберга, где формально$\ket{Ψ_{\text{out}}}=\ket{Ψ_{\text{in}}}$, но наблюдаемые развиваются. Входные операторы, записанные как произведения$a_x^\dagger$и$a_x$, становятся выходными операторами, записанными как произведения$b_x^\dagger$и$b_x$, преобразование задается унитарной матрицей$U_{T^*}^{-1}$.

В частности,$\ket{Ψ_{\text{out}}}=\ket{Ψ_{\text{in}}}=a_1^\dagger a_2^\dagger\ket{0}=\ket{1,1}_{\text{in}}$, но$b_1^\dagger b_2^\dagger\ket{0}=\ket{1,1}_{\text{out}}≠\ket{1,1}_{\text{in}}$: один фотон в каждом из входных режимов не совпадает с состоянием одного фотона в каждом из выходных режимов. Матрица$U_{T^*}$дает вам связь между операторами ввода и операторами вывода:

$$\begin{align} \begin{bmatrix} b_1^\dagger\\b_2^\dagger \end{bmatrix} &= U_{T^*} \begin{bmatrix} a_1^\dagger\\a_2^\dagger \end{bmatrix}; & \text{therefore }\begin{bmatrix} a_1^\dagger\\a_2^\dagger \end{bmatrix} &= U_{T^*}^{-1} \begin{bmatrix} b_1^\dagger\\b_2^\dagger \end{bmatrix} = U_{T^*}^{\dagger} \begin{bmatrix} b_1^\dagger\\b_2^\dagger \end{bmatrix}, \end{align}$$ и вы можете переписать $a_1^\dagger a_2^\dagger$как $(T b_1^\dagger-R^*b_2^\dagger)(R b_1^\dagger+T^*b_2^\dagger)$в выражении $\ket{Ψ_{\text{out}}}$получить выражение состояния в «выходном базисе».