Показать, что ,\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\,\mu\,\mathrm{d}N [закрыто]

Question

Показать, что ,\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\,\mu\,\mathrm{d}N [закрыто]

ПОЖАР

Мне нужна помощь, чтобы показать, что

\begin{aligned} (1) & г С & "=" {(\frac{\partial С}{\partial U})}_{В, Н} г U + {(\frac{\partial С}{\partial В})}_{U, Н} г В + {(\frac{\partial С}{\partial Н})}_{В, U} г Н \\ (2) & "=" \frac{1}{Т} г U + \frac{1}{Т} п г В - \frac{1}{Т} мю г Н \end{aligned}

$\begin{align*}\mathrm{d}S &=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN\tag{1}\\&=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N\tag{2}\end{align*}$

где $U$ – внутренняя энергия системы; $S$ – энтропия системы; $N$ – количество частиц в системе; $V$ объем системы; $P$ давление в системе; $T$ - абсолютная (термодинамическая) температура системы и $\mu$ – химический потенциал системы.

Я знаю, что коэффициенты $\mathrm{d}U$ , $\,\mathrm{d}V$ и $\mathrm{d}N$ должны соответствовать уравнениям $(1)$ и $(2)$ т.е.

\begin{matrix} (А) & {(\frac{\partial С}{\partial U})}_{В, Н} "=" \frac{1}{Т} \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\frac{1}{T}\tag{A}$

\begin{matrix} (Б) & {(\frac{\partial С}{\partial В})}_{U, Н} "=" \frac{1}{Т} п \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\frac{1}{T}P\tag{B}$

\begin{matrix} (С) & {(\frac{\partial С}{\partial Н})}_{В, U} "=" - \frac{1}{Т} мю \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}=-\frac{1}{T}\mu\tag{C}$

Но я просто понятия не имею, как показать $(\mathrm{A})$ , $(\mathrm{B})$ и $(\mathrm{C})$ . Таким образом, это означает, что я застрял в самом начале и, следовательно, не могу показать свою попытку найти решение (причина закрытия вопроса).

Для контекста я добавил страницы моего текста, которые показывают эквивалентность уравнений $(1)$ и $(2)$ :

Может кто-нибудь, пожалуйста, помогите мне показать это

\begin{aligned} {(\frac{\partial С}{\partial U})}_{В, Н} г U + {(\frac{\partial С}{\partial В})}_{U, Н} г В + {(\frac{\partial С}{\partial Н})}_{В, U} г Н \\ "=" \frac{1}{Т} г U + \frac{1}{Т} п г В - \frac{1}{Т} мю г Н \end{aligned}

$\begin{align*}&\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN\\&=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N\end{align*}$

Любые подсказки или советы приветствуются. Спасибо.

Эмиль

Я недавно прочитал, что S действительно является неявной функцией или чем-то вроде того, я думаю

S (U (V, N, T), V (U, N, T), N (U, V, T))

$S(U(V,N,T),V(U,N,T), N(U,V,T))$ может быть ?

ПОЖАР

@ Эмиль Хорошо, спасибо за ответ. В таком случае, как я могу использовать эту информацию, чтобы показать, что

\begin{aligned} {(\frac{\partial С}{\partial U})}_{В, Н} г U + {(\frac{\partial С}{\partial В})}_{U, Н} г В + {(\frac{\partial С}{\partial Н})}_{В, U} г Н \\ "=" \frac{1}{Т} г U + \frac{1}{Т} п г В - \frac{1}{Т} мю г Н \end{aligned}

$\begin{align*}&\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN\\&=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N\end{align*}$

Эмиль

Не знаю... но, думаю, будет понятнее, если вы напишете. Я пытался написать дифференциал, но я думаю, что сделал ошибку... Если я правильно помню

d S = \partial_{U} (S) \cdot (d V \partial_{V} + d N \partial_{N} + d T \partial_{T}) (U) + \dots

$dS = \partial_U (S)\cdot (dV\partial_V + dN\partial_N + dT\partial_T)(U)+ \ldots$ (т.е. цепное правило)

ПОЖАР

Спасибо за помощь @Emil, но, к сожалению, я до сих пор не знаю, что делать. Кажется, здесь есть что-то очень простое, что мне не хватает, поскольку автор выложенного мной отрывка не показал никаких промежуточных шагов, чтобы получить от

{(\frac{\partial С}{\partial U})}_{В, Н} г U + {(\frac{\partial С}{\partial В})}_{U, Н} г В + {(\frac{\partial С}{\partial Н})}_{В, U} г Н

$\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN$ к

"=" \frac{1}{Т} г U + \frac{1}{Т} п г В - \frac{1}{Т} мю г Н

$=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N$

Эмиль

Да, и еще, в термодинамике принято считать, что вторые производные, взятые в разном порядке, одинаковы (

\partial_{U} \partial_{V} f = \partial_{V} \partial_{U} f

$\partial_U\partial_V f = \partial_V\partial_U f$ ). О, и они обычно принимают ту или иную форму для законов термодинамики. Возможно, они использовали один из законов там?

d U = T d S + o t h e r s t u f f

$dU=TdS + other stuff$ ?

ПОЖАР

@Emil Да, спасибо, потому что уравнения состояния требуют, чтобы дифференциалы были точными, а точность требует

\frac{\partial^{2} U}{\partial Икс \partial у} "=" \frac{\partial^{2} U}{\partial у \partial Икс}

$\frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 U}{{\partial y}{\partial x}}$

Эмиль

Хотя смысл в тексте тогда был бы спорным.. Хорошо, так что

d S = \partial_{U} (S) \cdot (d V \partial_{V} + d N \partial_{N} + d T \partial_{T}) (U) + \partial_{V} (S) \cdot (d U \partial_{U} + d N \partial_{N} + d T \partial_{T}) (V) + \partial_{N} (S) \cdot (d V \partial_{V} + d U \partial_{U} + d T \partial_{T}) (N)

$dS=\partial_U(S)\cdot (dV\partial_V + dN \partial_N + dT \partial_T)(U) + \partial_V(S)\cdot (dU\partial_U + dN \partial_N + dT \partial_T)(V) + \partial_N(S)\cdot (dV\partial_V + dU \partial_U + dT \partial_T)(N)$ . Мне кажется, что они говорят

d U (\partial_{V} (S) \partial_{U} (V) + \partial_{N} (S) \partial_{U} (N)) = d U T^{- 1}

$dU(\partial_V(S)\partial_U(V)+\partial_N(S)\partial_U(N))=dU T^{-1}$ . Не знаю, почему. Я думаю, что что-то об инвариантах и интегрируемых факторах связано с Т.

Эмиль

Возможно, их дифференциалы тоже означают что-то вроде этого: dU=d(U(V,N)) и они не расширяют его, как это сделал я (возможно, я должен был использовать тильду для функций). В таком случае говорят

\partial_{\tilde{U}} (S) d \tilde{U} = \partial_{\tilde{U}} (S) (d V \partial_{V} + d N \partial_{N} + d T \partial_{T}) (\tilde{U}) = T^{- 1} d \tilde{U}

$\partial_{\tilde U}(S)d\tilde U=\partial_{\tilde U}(S)(dV\partial_V+dN\partial_N + dT\partial_T)(\tilde U)=T^{-1}d\tilde U$ и так далее.. что вписывается в их

μ

$\mu$ Наверное

\partial_{\tilde{N}} (S) d \tilde{N} = - μ / T d \tilde{N}

$\partial_{\tilde N}(S)d\tilde N=-\mu/T d\tilde N$ как они это определили, но все еще выглядит странно для меня.

Эмиль

Они определили

P / T d \tilde{V} = \partial_{\tilde{V}} (S) d \tilde{V}

$P/Td\tilde V=\partial_{\tilde V}(S)d\tilde V$ и

1 / T d \tilde{U} = \partial_{\tilde{U}} (S) d \tilde{U}

$1/T d\tilde U=\partial_{\tilde U}(S) d\tilde U$ где-то? В данном случае это была просто замена.

Эмиль

Ах. Они просто выбрали коэффициенты с точки зрения 1/T. Нравиться

d S = a d U + b d V + c d N

$dS=adU+bdV+cdN$ с

a = 1 / T, b = P a, c = - μ a

$a=1/T, b=Pa, c=-\mu a$ . Если только они не предоставили определение P где-то еще, что противоречит этому.

Любопытный Разум

Если вы не добавите определения

T, P

$T,P$ и

μ

$\mu$ , на этот вопрос нет ответа, потому что многие люди могут принять ваши эквалайзеры. (A), (B), (C) как определения этих количественных показателей, так что тут нечего показывать.

Эмиль

Ой, может я что-то пропустил, наверное

S = S (\tilde{U} (U, V, N, T), \tilde{V} (U, V, N, T), \tilde{N} (U, V, N, T), \tilde{T} (U, V, N, T))

$S=S(\tilde U(U, V, N, T), \tilde V(U, V, N, T), \tilde N(U, V, N, T), \tilde T(U, V, N, T))$ . Будем надеяться, что заглянет кто-нибудь с большим опытом, чем я.

Чет Миллер

Вам разрешено начинать с

d U = T d S - P d V + μ d N

$dU=TdS-PdV+\mu dN$ ?

Кайл Ариан-Рейнс

Я просто добавлю, что правило тройного продукта ( en.m.wikipedia.org/wiki/Triple_product_rule ) пригодится.

Ответы (1)

Показать, что ,\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\,\mu\,\mathrm{d}N [закрыто]

Я недавно прочитал, что S действительно является неявной функцией или чем-то вроде того, я думаю $S(U(V,N,T),V(U,N,T), N(U,V,T))$ может быть ?
@ Эмиль Хорошо, спасибо за ответ. В таком случае, как я могу использовать эту информацию, чтобы показать, что $\begin{aligned} {(\frac{\partial С}{\partial U})}_{В, Н} г U + {(\frac{\partial С}{\partial В})}_{U, Н} г В + {(\frac{\partial С}{\partial Н})}_{В, U} г Н \\ "=" \frac{1}{Т} г U + \frac{1}{Т} п г В - \frac{1}{Т} мю г Н \end{aligned}$ $\begin{align*}&\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN\\&=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N\end{align*}$
Не знаю... но, думаю, будет понятнее, если вы напишете. Я пытался написать дифференциал, но я думаю, что сделал ошибку... Если я правильно помню $dS = \partial_U (S)\cdot (dV\partial_V + dN\partial_N + dT\partial_T)(U)+ \ldots$ (т.е. цепное правило)
Спасибо за помощь @Emil, но, к сожалению, я до сих пор не знаю, что делать. Кажется, здесь есть что-то очень простое, что мне не хватает, поскольку автор выложенного мной отрывка не показал никаких промежуточных шагов, чтобы получить от ${(\frac{\partial С}{\partial U})}_{В, Н} г U + {(\frac{\partial С}{\partial В})}_{U, Н} г В + {(\frac{\partial С}{\partial Н})}_{В, U} г Н$ $\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN$ к $"=" \frac{1}{Т} г U + \frac{1}{Т} п г В - \frac{1}{Т} мю г Н$ $=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N$
Да, и еще, в термодинамике принято считать, что вторые производные, взятые в разном порядке, одинаковы ( $\partial_U\partial_V f = \partial_V\partial_U f$ ). О, и они обычно принимают ту или иную форму для законов термодинамики. Возможно, они использовали один из законов там? $dU=TdS + other stuff$ ?
@Emil Да, спасибо, потому что уравнения состояния требуют, чтобы дифференциалы были точными, а точность требует $\frac{\partial^{2} U}{\partial Икс \partial у} "=" \frac{\partial^{2} U}{\partial у \partial Икс}$ $\frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 U}{{\partial y}{\partial x}}$
Хотя смысл в тексте тогда был бы спорным.. Хорошо, так что $dS=\partial_U(S)\cdot (dV\partial_V + dN \partial_N + dT \partial_T)(U) + \partial_V(S)\cdot (dU\partial_U + dN \partial_N + dT \partial_T)(V) + \partial_N(S)\cdot (dV\partial_V + dU \partial_U + dT \partial_T)(N)$ . Мне кажется, что они говорят $dU(\partial_V(S)\partial_U(V)+\partial_N(S)\partial_U(N))=dU T^{-1}$ . Не знаю, почему. Я думаю, что что-то об инвариантах и интегрируемых факторах связано с Т.
Возможно, их дифференциалы тоже означают что-то вроде этого: dU=d(U(V,N)) и они не расширяют его, как это сделал я (возможно, я должен был использовать тильду для функций). В таком случае говорят $\partial_{\tilde U}(S)d\tilde U=\partial_{\tilde U}(S)(dV\partial_V+dN\partial_N + dT\partial_T)(\tilde U)=T^{-1}d\tilde U$ и так далее.. что вписывается в их $\mu$ Наверное $\partial_{\tilde N}(S)d\tilde N=-\mu/T d\tilde N$ как они это определили, но все еще выглядит странно для меня.
Они определили $P/Td\tilde V=\partial_{\tilde V}(S)d\tilde V$ и $1/T d\tilde U=\partial_{\tilde U}(S) d\tilde U$ где-то? В данном случае это была просто замена.
Ах. Они просто выбрали коэффициенты с точки зрения 1/T. Нравиться $dS=adU+bdV+cdN$ с $a=1/T, b=Pa, c=-\mu a$ . Если только они не предоставили определение P где-то еще, что противоречит этому.
Если вы не добавите определения $T,P$ и $\mu$ , на этот вопрос нет ответа, потому что многие люди могут принять ваши эквалайзеры. (A), (B), (C) как определения этих количественных показателей, так что тут нечего показывать.
Ой, может я что-то пропустил, наверное $S=S(\tilde U(U, V, N, T), \tilde V(U, V, N, T), \tilde N(U, V, N, T), \tilde T(U, V, N, T))$ . Будем надеяться, что заглянет кто-нибудь с большим опытом, чем я.
Вам разрешено начинать с $dU=TdS-PdV+\mu dN$ ?
Я просто добавлю, что правило тройного продукта ( en.m.wikipedia.org/wiki/Triple_product_rule ) пригодится.

пользователь108787 · Answer 1

\begin{matrix} (А) & {(\frac{\partial С}{\partial U})}_{В, Н} "=" \frac{1}{Т} \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\frac{1}{T}\tag{A}$

Определяется как выражение для температуры и не является производным. Как только они учат вас энтропии, они используют ее, чтобы ужесточить определение температуры.

\begin{matrix} (Б) & {(\frac{\partial С}{\partial В})}_{U, Н} "=" \frac{1}{Т} п \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\frac{1}{T}P\tag{B}$

также вводится аргументированным аргументом, как навязанное определение давления, (когда вы получаете $P$ сам по себе), а не какой-либо вывод, и я склонен полагать, что это связано с тем, что оно может включать преобразование Легранда, объяснение которого займет много времени, а также немного не по теме.

\begin{matrix} (С) & {(\frac{\partial С}{\partial Н})}_{В, U} "=" \frac{1}{Т} мю \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}=\frac{1}{T}\mu\tag{C}$

Окончательное выражение включает в себя расширение термодинамического уравнения, включив в него «химическую работу», и вы получите его как

г U "=" Т г С - п г В + мю г Н

$\mathrm{d}U= T\mathrm{d}S -P\mathrm{d}V + \mu \mathrm{d}N$

Сейчас $U, S, V, N$ все способны измениться в приведенном выше уравнении.

Итак, представьте, что мы держим переменные $U,S$ зафиксированный

Такой, что

0 "=" Т г С + мю г Н

$0 = T\mathrm{d}S + \mu \mathrm{d}N$

приводит к

мю "=" - Т {(\frac{\partial С}{\partial Н})}_{В, U}

$\mu = -T \left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}$

что приводит к

\begin{matrix} (С) & {(\frac{\partial С}{\partial Н})}_{В, U} "=" - \frac{1}{Т} мю \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}=-\frac{1}{T}\mu\tag{C}$

Я просмотрел 3 разные книги по теплофизике, и все они избегали явного их вывода, вместо этого полагаясь на доверчивые мне обоснованные аргументы, плюс в комментариях есть / была ссылка на то, что они являются определениями, так что ......
Большое спасибо за отличный ответ и извините, что я так долго не отвечал. С тех пор, как я прочитал ваш ответ, я искал книги и онлайн в поисках доказательств $(A)$ (которое, как я обнаружил, связано с термодинамической бета-версией без постоянной Больцмана) и $(B)$ можно найти здесь: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/therid.html . До моего сведения также было доведено, что $(C)$ уже был определен в отрывке, который я разместил в своем вопросе, и я также нашел его здесь: theory.physics.manchester.ac.uk/~judith/stat_therm/node61.html , где есть .....
ссылка, определяющая $(A)$ , $(B)$ и $(C)$ , но я с этим не согласен. Извините, форматирование комментариев получилось неправильным раньше, извиняюсь.
Мне самому не хватает представителя, поэтому я не могу помочь вам с повторным открытием. Тип домашней работы = домашняя работа...... сам попался на этом. Из комментариев и начального $\Delta T$ включение, путаница и «никаких усилий» из-за скопированных страниц, которых я бы избегал. Без обид, но я бы так же подумал. Пожалуйста, не поймите меня неправильно.... Золотое правило этого сайта... учитесь и двигайтесь дальше, удачи в следующем вопросе.
Понятно, спасибо за ваш совет, здесь он действительно работает иначе, чем MSE. С уважением.

Показать, что ,\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\,\mu\,\mathrm{d}N [закрыто]

ПОЖАР

Эмиль

ПОЖАР

Эмиль

ПОЖАР

Эмиль

ПОЖАР

Эмиль

Эмиль

Эмиль

Эмиль

Любопытный Разум

Эмиль

Чет Миллер

Кайл Ариан-Рейнс

Ответы (1)

пользователь108787

пользователь108787

ПОЖАР

ПОЖАР

пользователь108787

ПОЖАР

Путают с энтропией и неравенством Клаузиуса

Изменение энтропии термодинамической среды при изобарических или изохорных процессах

Неужели энтропия здесь не возрастает?

Энтропия и теплопроводность

Задача по физике: энтропия

второй закон термодинамики

Доказательство положительности cVcVc_V

Падение напряжения на клеточной мембране

Имея проблемы с энтропией, термодинамикой

Почему идеальный газ в изобарическом процессе не нарушает второй закон термодинамики?