Получение релятивистского эффекта Доплера через сокращение длины

Для конкретности (и для того, чтобы нам было легче вычислять и визуализировать величины), давайте проанализируем из системы отсчета, в которой источник покоится, а приемник движется со скоростью$v=(3/5)c$.
Далее, пусть исходный период равен$\tau=10$
и так (в единицах, где$c=1$) длина волны источника$\lambda=c\tau=10$.

Давайте визуализируем это на диаграмме пространства-времени, нарисованной на повернутой миллиметровке.

Источник и приемник ненадолго встречаются в событии O.
Итак, после O они удаляются друг от друга.
Со скоростью$v=\frac{PQ}{OP}=(3/5)c$,
коэффициент замедления времени равен$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\frac{OP}{OQ}=(5/4)$
и Бонди$k$-фактор$k=\frac{OR}{OT}=\sqrt{\frac{1+(v/c)}{1-(v/c)}}=2$.

Предположим, что в событии встречи O был подан световой сигнал, а затем снова в событии$T$, один период ($\tau_{source}=10$) позже в исходном кадре.
Итак, длина волны источника — это расстояние между волновыми фронтами в исходном кадре (то есть «разделение между двумя светоподобными сигнальными линиями» в исходном кадре). Из диаграммы,$\lambda_{source}=c\tau=10$, как и ожидалось.

---

Я обращусь к особенностям вашего подхода после диаграммы. Но сначала я сделаю важное замечание о длинах волн и сокращении длины.

• В исходном кадре представьте неподвижную линейку с отметкой на$x=10$. Интерпретируйте это как «где, по словам источника, расположен предыдущий волновой фронт, когда источник излучает следующий сигнал». Обратите внимание, что эта маркировка имеет мировую линию, параллельную источнику.
  Хотя «расстояние между этими времениподобными мировыми линиями» равно$\lambda_{source}$в исходном кадре эти времениподобные мировые линии лишь косвенно связаны с исходной длиной волны [которая является «разделением между светоподобными сигнальными линиями»].
  В кадре-приемнике «разделение между этими времениподобными мировыми линиями» задается выражением$OX=\frac{\lambda}{\gamma}=\frac{10}{5/4}=8$, в соответствии с сокращением длины .
  Однако это не длина волны , наблюдаемая приемником —
  наблюдаемая длина волны — это «расстояние между светоподобными сигнальными линиями», определяемое выражением$OW=20$в корпусе приемника. ($OW=k(O\lambda_{source}=(2)(10)=20.$).
  Дело в том, что наблюдаемая длина волны (разделение между светоподобными сигнальными линиями)
  напрямую не связана с сокращением длины (с участием параллельных времениподобных линий).

Теперь о вашем подходе...
Я считаю, что вы следующее эталонное событие$R$, когда приемник получает второй сигнал после встречи в$O$. Чтобы определить$R$координаты приемника в исходном кадре, найти пересечение мировой линии приемника через$O$($x=vt$) с передним световым сигналом, излучаемым на мероприятии$T$($x=c(t-\tau)$).
я получил$t_R=\frac{1}{1-\beta}\lambda/c=25$и$x_R=\frac{\beta}{1-\beta}\lambda=15$.
Я не уверен, где твой "$\lambda+v\tau$"$=(10)+(\frac{3}{5})(10)=16$происходит от.

Обратите внимание, что$x_R$расстояние до источника в исходном кадре, когда приемник наблюдает второй сигнал. Это не разделение между волновыми фронтами. В кадре приемника, когда происходит прием, приемник говорит, что она$\displaystyle\frac{x_{R}}{\gamma}=\frac{15}{5/4}=12$единицах от источника [что, опять же, не является наблюдаемой длиной волны$OW=20$].
Итак, опять же, сокращение длины, похоже, не помогает найти наблюдаемую длину волны.

---

Чтобы найти наблюдаемую длину волны$OW$, используйте наблюдаемый период$OR$.
По подобным треугольникам коэффициент замедления времени равен$\gamma=\frac{OP}{OQ}=\frac{25}{OR}$так что$\tau_{obs}=OR=(25)/\gamma=(25)/(5/4)=20$. Затем,$\lambda_{obs}=c\tau_{obs}=20$, который$OW$.
Символически,

$$\begin{align*} \lambda_{obs}=c\tau_{obs}=c\frac{t_R}{\gamma} &=c\frac{\frac{1}{1-\beta}\lambda/c}{\gamma}\\ &=\frac{1}{1-\beta}(\sqrt{1-\beta^2})\lambda\\ &=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\lambda_{source}=(2)(10)=20, \end{align*}$$ который, хотя и является «длиной», имеет доплеровский фактор (коэффициент Бонди $k$-фактор), а не коэффициент сокращения длины.
Опять же, различайте «разделение между светоподобными сигнальными линиями» и «разделение между параллельными времениподобными линиями».
Сходным образом, $$\tau_{obs}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\tau_{source}=(2)(10)=20,$$ который превышает исходный период $\tau_{source}=10$, как и ожидалось для удаляющегося приемника.

Если бы свет был потоком частиц с малой массой, движущихся почти со скоростью с во всех нормальных системах отсчета, то мы могли бы без проблем использовать формулу сокращения длины.

К счастью, мы никогда не можем быть уверены, что фотон не имеет малой массы.

Поэтому, если мы выберем скорость, достаточно близкую к c, мы получим ответы, которые не могут быть опровергнуты текущими экспериментами.

Итак, давайте посмотрим, как это можно сделать. Длина покоя светового импульса равна гамма, умноженной на его длину, когда он движется.

Очень особый наблюдатель, движущийся со световым импульсом, увидит, что все измерительные линейки обычного наблюдателя очень короткие. Специальный наблюдатель может подумать, что обычные наблюдатели с их короткими измерительными стержнями измерили бы световой импульс даже длиннее, чем в системе отсчета специального наблюдателя. Но это неправильно. Длина движущегося объекта не измеряется мерной линейкой. Как именно мы измерим длину движущегося объекта с помощью измерительной линейки?

Итак, сначала идем к кадру импульса, потом спрашиваем, какова длина импульса в двух нормальных кадрах. Это простой расчет скоростей объектов и длин указанных объектов. Я имею в виду, что сначала мы вычисляем скорость пульса в двух нормальных кадрах, а затем вычисляем лоренцевские сокращения на этих двух скоростях.