Относительная скорость из пространственно-временной диаграммы

Question

Относительная скорость из пространственно-временной диаграммы

Физика
пространство-время
относительность
относительное движение
специальная теория относительности

Йеллапрагада Шрикар Ананд

Рассмотрим две системы отсчета со скоростями V1 и V2 относительно исходной наземной системы отсчета. Я сделал пространственно-временные диаграммы для трех кадров (время представлено по оси Y).

Насколько мне известно, относительная скорость между кадром-1 и кадром-2 (относительная скорость представлена зеленым цветом) является проекцией чистой скорости кадра-2 (т.е. оси t2) на ось пространства-1 (x1) или Наоборот.

Итак,
учитывая $c = 1$ ,
$=> V21 = \sin(\beta-\alpha)$
$=> V21 = (\sin\beta \cos\alpha - \cos\alpha \sin\beta)$

Мы можем просто вычислить значения синусов и косинусов.
$\sin\alpha = V1/1 = V1$
$\sin\beta = V2/1 = V2$

$=> V21 = ( V2\sqrt{(1-V1^2)} - V1\sqrt{(1-V2^2)})$

Пока мы знаем правильную формулу,
$V21 = (V2-V1)/(1-V1V2)$

Что не так с этим подходом к нахождению относительных скоростей?

Это работало правильно для расчета отношений трансформации пространства-времени между двумя кадрами.

Извините за плохую схему.

Пук

1. Как вы думаете, почему пространственные оси ориентированы именно так, как вы их нарисовали (т.е. ортогонально оси времени)? 2. Где делать

\sin α = V_{1}

$\sin \alpha = V_1$ и т.д. откуда? 3. Как вы думаете, почему

V_{12}

$V_{12}$ является проекцией

V_{2}

$V_2$ в этом кадре на

x_{1}

$x_1$ ось? Имейте в виду, что когда вы накладываете диаграммы пространства-времени, «масштабы» осей в целом будут другими.

Йеллапрагада Шрикар Ананд

1. Именно это представляют диаграммы пространства-времени, верно? Я имею в виду, что на самом деле они могут быть не перпендикулярны, но мы можем представить это геометрически, потому что пифагорейское сложение скорости времени и скорости пространства равно скорости света. 2. По простой геометрии?? 3. Полная скорость системы отсчета-2 (или любой другой системы отсчета) в пространстве-времени равна c. Но кадр-1 может видеть, как кадр-2 движется только в пространстве кадра-1. Итак, кадр-2 можно увидеть с проекцией «скорости света» на пространство кадра-1. Я не мог понять, что вы говорите об этих весах топоров. Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь. Спасибо.

Йеллапрагада Шрикар Ананд

Этот метод прекрасно работал и согласовывался с реальными формулами, когда я наложил только две диаграммы пространства-времени. Я обнаружил замедление времени и сокращение длины, а также соотношение между пространственно-временными значениями события в двух разных кадрах. Так почему здесь не получится?

Йеллапрагада Шрикар Ананд

Рассмотрим только кадр-0 и кадр-1. Поместите стержень длины L в пространственной оси кадра-0. Как кадр-1 его увидит? Стержень виден кадру-1 только в пространстве кадра-1, верно? Таким образом, проекция L (которая находится в X0) на X1 равна L cos(alpha) = L sqrt(1-(V/c)^2)....... Сокращение длины.

Эли

\sin (β - α) = \sin (β) \cos (α) - \cos (β) \sin (α)

$\sin \left( \beta -\alpha \right) =\sin \left( \beta \right) \cos \left( \alpha \right) -\cos \left( \beta \right) \sin\left( \alpha\right)$

PM 2Кольцо

Кстати, член Робфи умеет рисовать пространственно-временные диаграммы на повернутой миллиметровке, например, physics.stackexchange.com/a/325582/123208 .

Ответы (1)

Относительная скорость из пространственно-временной диаграммы

1. Как вы думаете, почему пространственные оси ориентированы именно так, как вы их нарисовали (т.е. ортогонально оси времени)? 2. Где делать $\sin \alpha = V_1$ и т.д. откуда? 3. Как вы думаете, почему $V_{12}$ является проекцией $V_2$ в этом кадре на $x_1$ ось? Имейте в виду, что когда вы накладываете диаграммы пространства-времени, «масштабы» осей в целом будут другими.
1. Именно это представляют диаграммы пространства-времени, верно? Я имею в виду, что на самом деле они могут быть не перпендикулярны, но мы можем представить это геометрически, потому что пифагорейское сложение скорости времени и скорости пространства равно скорости света. 2. По простой геометрии?? 3. Полная скорость системы отсчета-2 (или любой другой системы отсчета) в пространстве-времени равна c. Но кадр-1 может видеть, как кадр-2 движется только в пространстве кадра-1. Итак, кадр-2 можно увидеть с проекцией «скорости света» на пространство кадра-1. Я не мог понять, что вы говорите об этих весах топоров. Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь. Спасибо.
Этот метод прекрасно работал и согласовывался с реальными формулами, когда я наложил только две диаграммы пространства-времени. Я обнаружил замедление времени и сокращение длины, а также соотношение между пространственно-временными значениями события в двух разных кадрах. Так почему здесь не получится?
Рассмотрим только кадр-0 и кадр-1. Поместите стержень длины L в пространственной оси кадра-0. Как кадр-1 его увидит? Стержень виден кадру-1 только в пространстве кадра-1, верно? Таким образом, проекция L (которая находится в X0) на X1 равна L cos(alpha) = L sqrt(1-(V/c)^2)....... Сокращение длины.
$\sin \left( \beta -\alpha \right) =\sin \left( \beta \right) \cos \left( \alpha \right) -\cos \left( \beta \right) \sin\left( \alpha\right)$
Кстати, член Робфи умеет рисовать пространственно-временные диаграммы на повернутой миллиметровке, например, physics.stackexchange.com/a/325582/123208 .

Хавьер · Answer 1

Проблема в том, что ваша диаграмма пространства-времени неверна: вы используете евклидову геометрию, а не Минковского. Сама схема, простите за некачественную картинку, выглядит примерно так:

где я нарисовал $t^2 - x^2 = \pm 1$ гиперболы, а углы подчиняются $\tan \alpha = v_1$ и $\tan \beta = v_2$ . Обратите внимание, что единичные векторы имеют единичную длину относительно метрики Минковского, но не относительно метрики Евклида: они лежат на гиперболе, а не на окружности.

Если вы хотите увидеть, как все выглядит из кадра 1, вам нужно переместить все по гиперболам:

где сейчас $\delta$ неизвестный угол, который мы хотим найти. Однако, чтобы найти его геометрически, нам нужно сначала заняться алгеброй, потому что геометрия гиперболическая, и она не соответствует тому, что происходит, когда мы рисуем на бумаге. И ключевой факт, который нам нужен, это то, что если задана скорость $v$ мы определяем быстроту $\eta$ к $v = \tanh \eta$ , такой, что $\eta$ идет от нуля до бесконечности, как $v$ идет от нуля до единицы, то при выполнении преобразований Лоренца быстроты просто складываются. В некотором смысле это все еще геометрия, потому что быстрота является параметром гиперболы, хотя это и не обычная длина дуги.

Отсюда формула сложения скоростей проста, если мы знаем наши гиперболические тождества: поскольку быстроты просто складываются и вычитаются, мы имеем, что $\eta_{21} = \eta_2-\eta_1$ , и

в_{21} "=" танх (η_{2} - η_{1}) "=" \frac{танх η_{2} - танх η_{1}}{1 - танх η_{2} танх η_{1}} "=" \frac{в_{2} - в_{1}}{1 - в_{1} в_{2}} .

$v_{21} = \tanh(\eta_2 - \eta_1) = \frac{\tanh{\eta_2} - \tanh{\eta_1}}{1 - \tanh{\eta_2}\tanh{\eta_1}} = \frac{v_2 - v_1}{1 - v_1 v_2}.$

Относительная скорость из пространственно-временной диаграммы

Йеллапрагада Шрикар Ананд

Пук

Йеллапрагада Шрикар Ананд

Йеллапрагада Шрикар Ананд

Йеллапрагада Шрикар Ананд

Эли

PM 2Кольцо

Ответы (1)

Хавьер

Подразумевает ли специальная теория относительности множественность реальностей?

Можем ли мы найти реальную массу покоя вещей на Земле

Почему часы измеряют длину дуги?

Как Momenergy не зависит от фрейма?

Как искривление пространства-времени увеличивает скорость частиц, падающих на Землю?

Движение равномерно ускоряющейся ракеты в специальной теории относительности

Почему время замедляется только для движущегося объекта, а не для неподвижного наблюдателя? Как определяются «стационарные» и «подвижные»? [дубликат]

Собственное время для ускоряющегося объекта

Сведение общей теории относительности к специальной теории относительности в предельном случае

Как выглядит диаграмма пространства-времени для ускоренных/неинерциальных наблюдателей?