Понимание разницы между времениподобным и пространственноподобным разделением

Времеподобные интервалы – это малое расстояние и большое время. Например, одно событие здесь и сейчас. Второе событие происходит на расстоянии 1 м и через 1 с.

Если вы путешествуете со скоростью ~ 1 м/с в правильном направлении, вы можете пройти через оба события. В этом кадре разделение чисто по времени: здесь и сейчас, здесь и через ~1 секунду. Таким образом, любое времяподобное разделение может быть сведено к чистому временному разделению.

Это становится немного нелогичным на более высоких скоростях. Вы можете игнорировать замедление времени и сжатие пространства при скорости 1 м/с. При разделении в 0,8 световой секунды и 1 секунду кто-то все еще может пройти через оба события. Но вам нужно будет рассчитать расстояние и время, которое увидел путешественник.

Светоподобные разделения разделены поровну временем и расстоянием. Например, событие здесь и сейчас. Другой находится на расстоянии 1 световой секунды и на 1 секунду позже. Вы не можете путешествовать со скоростью света, поэтому вы не можете свести это к чистому разделению во времени. Луч света может пройти через оба события.

Пространственная разлука — это большое расстояние и короткое время. Пример — здесь и сейчас, а событие — через 1 световую секунду и через 0,8 секунды. Ничто не может пройти через оба события.

Но здесь это становится действительно нелогичным. Мы привыкли к мысли, что я вижу два места в разное время, а путешественник, проходящий через оба, видит их как одно и то же место в разное время.

Мы не привыкли к мысли, что путешественник может выбрать скорость, при которой два события происходят одновременно. Но время так работает. Любое пространственное разделение можно свести к чисто пространственному разделению, двум одновременным событиям, выбрав правильную скорость.

Я попытаюсь заново описать те же самые идеи по-другому. Это не должно быть быстрым ответом на вопрос; скорее, это должно быть ресурсом, помогающим развить некоторую интуицию.

В этом ответе слово «кадр» не используется. Это потому, что «рама» может иметь коннотации чего-то жесткого, чего-то определенного «осью». Этот ответ выражается с использованием более общей концепции системы координат, которая не зависит ни от каких осей или прямых линий.

Координаты — это произвольные метки для точек в пространстве-времени. Им следует присвоить уникальный набор из 4 чисел.$(w,x,y,z)$к каждой точке, и делать это они должны плавно , а в остальном они произвольны. Любую мировую линию (кривую в пространстве-времени) можно описать, задав четыре координаты как функции некоторого другого параметра.$\lambda$который проходит по мировой линии. Примеры будут показаны ниже, после общих принципов.

Математически системы координат и мировые линии определяются без помощи каких-либо геометрических понятий, таких как время, расстояние, времяподобность или пространственноподобность, и без помощи каких-либо динамических понятий, таких как свободное падение. Геометрия (включая время) и свободное падение определяются метрикой. Удобный способ указать метрику — указать элемент строки . Элемент строки принимает любой$\lambda$-параметризованная мировая линия в качестве входных данных и возвращает одну функцию$G(\lambda)$как вывод. В специальной теории относительности линейный элемент может быть выражен как

$$G(\lambda) = \dot w^2 - (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2) \tag{1}$$ где точка обозначает производную по параметру$\lambda$по заданной мировой линии. Мировая линия называется

• времяподобный где угодно$G(\lambda)>0$,

• космический где угодно$G(\lambda)<0$,

• легкий везде$G(\lambda)=0$.

Мировая линия называется причинной, если она либо времениподобна, либо светоподобна. Принцип причинности гласит , что только причинная мировая линия может представлять историю физического объекта. Собственное время определяется только вдоль такой мировой линии. Учитывая любую причинную мировую линию, ее собственное время$\tau(\lambda)$определяется условием

$$\dot\tau^2 = G(\lambda) \geq 0. \tag{2}$$ Это говорит нам, как правильное время$\tau$прогрессирует по мировой линии в зависимости от параметра$\lambda$.

Оглядываясь назад, теперь, когда элемент линии (1) был указан, мы видим, что линия слов не может быть времениподобной, если только$w$изменяется монотонно вдоль мировой линии. В этом смысле мы можем думать о$w$как «времяподобная» координата — но это все еще просто координата. Собственное время задается уравнением (2), и это то, что объект на самом деле воспринимает как время. Собственное время специфично для данной мировой линии и инвариантно относительно изменений системы координат.

Если величина (1) отрицательна, то мы имеем пространственноподобную мировую линию. На такой мировой линии собственное время не определено . Физические объекты, включая часы, не могут двигаться в соответствии с такой мировой линией, поэтому нам не следует ожидать наличия какого-либо инвариантного представления о ходе времени вдоль такой мировой линии. Что у нас есть вместо такой мировой линии, так это правильное расстояние$\ell$, заданное условием

$$\dot\ell^2 = -G(\lambda) > 0. \tag{3}$$

Две точки в пространстве-времени называются «времениподобно разделенными», если они могут быть соединены друг с другом некоторой времениподобной мировой линией, и они называются пространственно-подобно разделенными, если они не могут быть связаны друг с другом какой-либо причинной мировой линией. Понятие «пространственно-разнесенных» событий является расширением понятия «одновременных» событий. События, разделенные подобным пространством, не могут быть упорядочены во времени каким-либо инвариантным образом.

Кстати, даже если две точки времениподобны разнесены (что означает, что одна из точек однозначно находится в будущем другой), их все же можно соединить друг с другом пространственноподобной мировой линией. Следующая пара примеров иллюстрирует это.

---

Пример 1

Выберите константы$A,B,C$и рассмотрим мировую линию, заданную

$$w(\lambda)=A\lambda \hskip1cm x(\lambda)=B\lambda+C \hskip1cm y(\lambda)=0 \hskip1cm z(\lambda)=0. \tag{4}$$ Затем $$\dot w = A \hskip1cm \dot x = B \hskip1cm \dot y = 0 \hskip1cm \dot z = 0, \tag{5}$$ так$G(\lambda)=A^2-B^2$, который не зависит от$\lambda$в этом простом примере. Эта мировая линия:

• подобно времени, если$A^2>B^2$, и тогда уравнение (2) дает$\tau(\lambda) = \sqrt{A^2-B^2}\,\lambda$для надлежащего времени вдоль этой мировой линии.

• космический, если$A^2<B^2$, и тогда уравнение (3) дает$\ell(\lambda) = \sqrt{B^2-A^2}\,\lambda$для надлежащего расстояния вдоль этой мировой линии.

• легкий, если$A^2=B^2$, и тогда собственное время и собственное расстояние равны нулю вдоль этой мировой линии.

Для специальной метрики, определяемой (1), времяподобная (или светоподобная) мировая линия соответствует свободному падению тогда и только тогда, когда производные$(\dot w,\dot x,\dot y,\dot z)$все пропорциональны друг другу. В частности:

• Мировая линия, определяемая (4), представляет собой свободное падение, если$A^2\geq B^2$.

• Если$A^2<B^2$, то оно не представляет никакого физически возможного движения.

---

Пример 2

Рассмотрим мировую линию, определяемую

$$\begin{align} w(\lambda) &= \lambda + \lambda^3 \\ x(\lambda) &= \cos(\beta\lambda + \beta\lambda^3) \\ y(\lambda) &= \sin(\beta\lambda + \beta\lambda^3) \\ z(\lambda) &= 0. \tag{6} \end{align}$$ где$\beta$является константой. Для каждого значения$\lambda$, эти уравнения задают координаты одной точки в четырехмерном многообразии, поэтому они определяют мировую линию. Вставьте (6) в (1), чтобы получить $$G(\lambda)=(1-\beta^2)(1+3\lambda^2)^2. \tag{7}$$

• Если$\beta^2<1$, то эта мировая линия времениподобна, и тогда уравнение (2) говорит, что ее собственное время определяется выражением

  $$\tau(\lambda)=\sqrt{1-\beta^2}\,(\lambda+\lambda^3). \tag{8}$$ Это говорит нам, как правильное время$\tau$прогрессирует по мировой линии в зависимости от параметра$\lambda$. Уравнение (8) не зависит от координат, как и должно быть; собственное время инвариантно относительно преобразований координат.

• Если$\beta^2>1$, то эта мировая линия пространственноподобна. Заметьте, однако, что эта пространственноподобная мировая линия проходит через все точки$(w,x,y,z)=(2\pi\,n/\beta,1,0,0)$для всех целых чисел$n$, и все эти точки также содержатся во времениподобной мировой линии (4) с$A=1$,$B=0$, и$C=1$. (Параметры$\lambda$две мировые линии не совпадают; символ$\lambda$был переработан.) Это показывает, что мировая линия (6) с$\beta^2>1$является примером пространственноподобной мировой линии, соединяющей некоторые времяподобно разделенные точки.

Просто потому, что интервал$ds^2$является инвариантным, и поэтому мы можем вычислить его в любой системе отсчета, которую захотим. Так что если$ds^2$похоже на время, мы можем перейти к системе$(t', x', y', z')$в котором мировая линия от А до В покоится, и эта система координат у нас есть

$$ds^2 = dt'^2,$$

так как пространственное смещение равно нулю. Точно так же, если разделение пространственноподобно, мы можем перейти к системе, в которой A и B находятся одновременно, поэтому$dt'$исчезает из интервала.

Для точной оценки необходимо принять во внимание, что времяподобные интервалы и пространственноподобные интервалы имеют разные основания. Время — это не пространство, и симметрия времени и пространства ограничена симметрией Лоренца. Следовательно, вы должны оценивать времениподобные интервалы и пространственноподобные интервалы отдельно:

Времеподобные интервалы — это временные интервалы из-за явлений собственного времени и замедления времени.

Напротив, рассмотрение пространственноподобных интервалов как пространственных интервалов является простой моделью, которая удовлетворяет допущению, что пространство-время является многообразием, но здесь нет такого же строгого вывода, как для собственного времени.

1.Времеподобные интервалы: Мировые линии частиц являются времениподобными интервалами, и они состоят из собственных временных интервалов dτ. Это означает, что в системе отсчета частицы интервалы являются интервалами ее собственного времени (собственного времени dτ). Кроме того, согласно системе отсчета частицы, частица вообще не движется, ее пространственные координаты всегда являются нулевыми координатами, потому что это ее собственная система отсчета.

Напротив, наблюдатели наблюдают за движущейся частицей. Наблюдаемая временная координата - dt, соответствующая «растянутому во времени собственному времени». Поскольку частица движется с точки зрения всех наблюдателей с другими системами отсчета, возникает пространственная координата.

Это означает обратное, что из заданной временной и пространственной координаты мировой линии частицы можно получить соответствующее собственное время частицы. Поскольку времениподобные интервалы соответствуют собственному времени мировой линии, нетрудно понять, что времениподобные интервалы имеют временной характер.

2. Иная и более сложная ситуация для пространственноподобных интервалов. Предельная скорость пространства-времени равна с, и по этой причине не существует пространственноподобных мировых линий. Это подразумевает также, что замедление времени не может работать для пространственноподобных мировых линий, которые объяснялись выше: 1) слияние временных и пространственных координат.

С другой стороны, расстояния измеряются трехмерными пространственными интервалами, а не четырехмерными пространственно-подобными интервалами. Расстояние между Солнцем и Землей всегда (примерно) 8 световых минут, даже если считать Солнце 4 минуты назад и Землю сейчас. Мы можем назвать это расстояние «8 световых минут + 4 минуты» или «пространственный интервал + временной интервал», но мы не получаем простое расстояние как пространственный интервал.

Как вы указали в своем вопросе: квадратные пространственные интервалы отрицательны. Таким образом, мы получаем мнимые результаты для пространственных расстояний пространственноподобных интервалов. Misner/ Thorne/ Wheeler, Gravitation пытались исправить этот недостаток с помощью сигнатуры (-,+,+,+), но до сегодняшнего дня эта концепция не нашла всеобщего признания, и особенно в физике элементарных частиц эта концепция не кажется соответствовать экспериментальным потребностям.

Итак, как следствие, рассмотрение пространственноподобных интервалов как расстояний является простой моделью, и эта модель не имеет того же физического основания, что и времениподобные интервалы. Если следовать сигнатуре (-,+,+,+), этот недостаток скрыт тем фактом, что квадраты пространственноподобных интервалов положительны, а пространственноподобные интервалы реальны так же, как и трехмерные расстояния. Согласно этой модели, пространственноподобные интервалы можно рассматривать как «пространственные расстояния, скорректированные временной координатой». Но именно такая поправка может быть физически оправдана для времениподобных интервалов, как показано выше 1), но для пространственноподобных интервалов такого обоснования нет.

Таким образом, как только вы отказываетесь от подписи (-,+,+,+), возникает ваш вопрос. А ответ вкратце таков, что модель используется для удовлетворения человеческой интуиции, не больше и не меньше.