Расстояния в космологии

Мой первый вопрос: как я могу увидеть, что (𝑟,𝜃,𝜙) в метрике FLRW являются сопутствующими координатами?

Сопутствующие расстояния остаются постоянными во времени. Метрика в том виде, в каком вы ее написали, помещает всю временную зависимость в функцию$R(t)$, а координаты$r,\theta,\phi$не зависят от времени. Таким образом, любое расстояние, выраженное через$r,\theta,\phi$является сопутствующим расстоянием.

Кроме того, в моей книге (Колб и Тернер) сказано, что 𝑅(𝑡) имеет размерную длину, а 𝑟 безразмерно и изменяется от 0 до 1?

Существует несколько соглашений о том, где размещать единицы измерения. На самом деле это не имеет большого значения для пространственно плоских вселенных ($k=0$); это наиболее важный случай, потому что теперь мы знаем, что Вселенная пространственно плоская с очень хорошей точностью. Но один выбор, безусловно, определить$R(t)$иметь единицы длины, и в этом случае$r, \theta, \phi, k$все безразмерны. Однако,$r$безусловно, должно варьироваться от$0$к$\infty$когда$k=0$, иначе будет граница многообразия в точке$r=1$которого геодезический наблюдатель мог бы достичь за конечное собственное время. Возможно, в книге говорилось, что$k$может принимать дискретные значения$-1, 0, +1$? (Есть еще одно соглашение, где$R(t)$безразмерный и$r$и$k^{-1/2}$есть единицы длины). Или, возможно, книга была посвящена случаю, когда$k=+1$, в таком случае$r=1$находится на бесконечном пространственном расстоянии.

Коротко: время 𝑡𝐷 и 𝑡𝑆 можно измерить следующим образом: 𝐷 и 𝑆 имеют часы, прикрепленные друг к другу. Они будут синхронизированы в самом начале, а затем 𝑡𝑆 будет просто измеряться часами, которые находятся в 𝑆, а 𝑡𝐷 будет измеряться часами, которые находятся в 𝐷. тс правильно?

Звучит разумно, но нет необходимости быть очень осторожным с этим, так как$D$и$S$оба покоятся в космической системе отсчета, поэтому имеют одинаковую временную координату.

Физическое расстояние (также называемое правильным расстоянием, верно?)

Да.

Это было бы расстояние, которое я бы измерил, если бы остановил время и измерил расстояние обычной линейкой, верно?

Да.

Но чтобы рассчитать это расстояние, я должен знать сопутствующие расстояния?

Если вы знаете одну меру расстояния и масштабный коэффициент, вы можете вычислить все остальные. Но это не тот случай, когда вам всегда будут заданы сопутствующие расстояния, и вам нужно будет вычислить какую-то другую меру расстояния. С точки зрения наблюдения мы никогда не знаем непосредственно сопутствующие расстояния.

как это получается? Говорят, что это следует из закона сохранения энергии, но я этого не понимаю.

Честно говоря, я думаю, что ссылка на «сохранение энергии» здесь сбивает с толку, поскольку энергия не сохраняется во Вселенной FLRW. Вот как бы я попытался объяснить это в нескольких словах...

Представьте себе фотоны, испускаемые с поверхности звезды. Если излучаемая мощность, интегрированная по всей поверхности,$P$, то мощность, которая распространяется через поверхность на нужном расстоянии$r$также должно быть$P$. Это верно, если мы работаем в сопутствующей системе координат.

Однако в физических координатах фотоны теряют энергию при распространении, потому что расширение Вселенной приводит к увеличению их длины волны в$1+z$. Кроме того, мощность представляет собой поток энергии в единицу времени. Интервал времени между испусканием двух фотонов, как его видит наблюдатель, длиннее временного интервала между испусканием двух фотонов источником в раз.$1+z$Следовательно, светимость (поток мощности) через поверхность действительно меньше, чем мы могли бы ожидать в сопутствующей системе координат, в несколько раз.$(1+z)^2$.

Поскольку расстояние светимости$d_L$пропорциональна обратному квадратному корню из светимости, расстояние светимости больше, чем сопутствующее расстояние$d_C$с коэффициентом$1+z$. Связь в уравнениях$d_L = (1+z) d_C$.

Вот источник, который я нашел в Google, который более подробно описывает получение различных показателей расстояния: https://wwwmpa.mpa-garching.mpg.de/~gamk/TUM_Lectures/Lecture3.pdf

Означает ли это, что расстояние в законе Хаббла на самом деле не является физическим расстоянием, которое можно было бы измерить линейкой? Физическое расстояние можно было бы получить, используя отношения, которые я разработал выше!?

Закон Хаббла в смысле$v = H d$, действителен только тогда, когда расстояния достаточно малы, чтобы$z \ll 1$, и в этом случае все метрики расстояния примерно одинаковы. Однако вы правы в том, что для измерения ускорения Вселенной (которое выходит за рамки закона Хаббла) необходимо быть более точным. Измерения сверхновых, которые были первым свидетельством ускорения Вселенной, использовали расстояние светимости.

Наконец, в качестве дружеского совета на будущее: в целом рекомендуется задавать целенаправленные вопросы с 1 или максимум 2 вопросами на пост. При небольших сомнениях в определениях решение нескольких задач часто является хорошим способом укрепить доверие и избавиться от путаницы, а также отфильтровать более крупные концептуальные вопросы, на которые сложнее ответить самостоятельно.