Понимание теоремы Гиббса HHH: откуда взялся «размытый» аргумент Джейнса?

Меня больше всего беспокоит: происходит ли это размытие/потеря знаний из-за какого-либо известного физического закона/принципа? Например, должны ли мы связать квантование фазового пространства с ΔxΔp≥ℏ2ΔxΔp≥ℏ2 или с каким-то эффектом наблюдателя?

Описание в статье Википедии дезинформировано и вводит в заблуждение. Размытие или крупнозернистость — это всего лишь один из возможных формальных механизмов получения изображения.$H$уменьшение времени в (больцмановской)$H$-теорема.

Эта процедура вводит искусственную шкалу, ниже которой детали отбрасываются, и поэтому она имеет мало общего с механикой, где ничего не отбрасывается, или со 2-м законом термодинамики, где нас вообще не интересуют такие детали (мы используем только макроскопические переменные состояния).

Также$H$(функция вероятностей и, следовательно, времени) никак не связана с термодинамической энтропией (функция макроскопических переменных состояния).

На самом деле нет никакой размытости функции вероятности, необходимой для объяснения 2-го закона. Джейнс показал, как вывести энтропийную формулировку 2-го закона для термически изолированной системы без какого-либо размытия, только используя гамильтонову механику, принцип максимальной информационной энтропии и предположение о повторяемости результатов макроскопических экспериментов.

Пусть система эволюционирует из термодинамически равновесного состояния$A$к термодинамически равновесному состоянию$B$. Весь процесс опишем также с помощью плотности вероятности$\rho(t)$, начиная со времени$t_A$с начальной функцией$\rho(t_A)$и заканчивается во время$t_B$. Начальная плотность$\rho(t_A)$может быть чем угодно, если оно соблюдает ограничения макросостояния$A$. Последующие плотности$\rho(t)$для$t \geq t_A$, однако полностью определяются гамильтонианом и начальным условием; мы не свободны выбирать их.

Согласно теореме Лиувилля информационная энтропия (часто называемая энтропией Гиббса)

остается постоянной во времени, нет размытия$\rho$любого рода . (1)

Будет показано, что термодинамическая энтропия в конечном состоянии равновесия$S_B$больше или равно начальной термодинамической энтропии$S_A$.

Такой результат возможен потому, что термодинамическая энтропия макросостояния, вообще говоря, не просто пропорциональна информационной энтропии зависящего от времени распределения вероятности$\rho(t)$. Его отношение к понятию информационной энтропии таково:

Значение термодинамической энтропии макросостояния$X$определяется значением информационной энтропии для этого распределения вероятностей$\rho_X$, что согласуется с макросостоянием$X$и придает максимально возможное значение информационной энтропии. (2)

Теперь, очевидно$\rho(t_B)$согласуется с макросостоянием$B$но$I[\rho(t_B)]$не обязательно является максимально возможным значением$I$для всех$\rho$совместим с макросостоянием$B$.

Плотность вероятности, которая не только согласуется с макросостоянием$B$но и максимизирует информационную энтропию, в общем случае отличается от$\rho(t_B)$. Обозначим эту максимизирующую плотность как$\rho_B$; тогда отношение двух информационных энтропий равно

Теперь, основываясь на (2), мы можем записать это как

На основании (1) мы можем записать это также как

Это означает, что при любой плотности$\rho(t_A)$выбирается для описания макросостояния$A$, термодинамическая энтропия конечного состояния$B$равна или превышает информационную энтропию$\rho(t_A)$. Итак, если плотность$\rho_A$выбирается таким образом, чтобы максимизировать$I$при ограничениях начального макросостояния$A$,$I$достигает значения термодинамической энтропии$S_A$и получаем неравенство

Это означает, что мы вывели энтропийную формулировку 2-го закона термодинамики из принципа максимальной информационной энтропии, используя постоянство энтропии Гиббса в качестве одного из ингредиентов.

В более общем плане нужна ли квантовая механика (как следует из этого ответа на родственный вопрос) для полного объяснения того, как необратимая динамика, наблюдаемая в природе в макроскопическом масштабе, возникает из обратимых законов?

Если бы мы хотели полностью объяснить процесс вплоть до элементарных частиц, то понадобилась бы теория этих частиц, такая как квантовая теория. Но если цель состоит в том, чтобы просто показать, что необратимая эволюция макроскопических переменных согласуется с обратимой эволюцией микроскопических переменных, то ответ будет отрицательным.

Используемый физический принцип — это конечное разрешение любого эксперимента, независимое от значения$\hbar$, вместе со связью между наблюдаемыми и микроскопическими степенями свободы, т. е. применимо как к классическим, так и к квантовым системам. Технически сохранение энергии и теорема Лиувилля или унитарность в КМ также необходимы для предотвращения коллапса различных траекторий в какой-то аттрактор. Классически результат следует из чувствительности к начальным условиям и того факта, что большинство систем имеют относительно небольшое количество глобально сохраняющихся величин (важное исключение см. в проблеме Ферми Паста Улама ). Отсечка$\Delta x\Delta p\geq \hbar/2$вполне естественно из-за нашего дополнительного эмпирического знания о том, что разрешение любогоклассическое описание не работает в этом масштабе. Если бы мы использовали обычную линейку для измерения положения, маятник для измерения времени и равновесное смещение неподвижной пружины для измерения сил, то наша разрешающая способность и предсказательная сила были бы ограничены точностью линейки и маятника. В квантовой механике конечное разрешение любого эксперимента подразумевает, что любое начальное измерение игнорирует степени свободы, связанные с малыми масштабами. Эти степени свободы обычно не оказывают существенного влияния на траектории на коротких временных масштабах, но в совокупности приводят к очевидной потере унитарности на больших временах. В ядерном магнитном резонансе вы можете с достаточной точностью предсказать состояние отдельного спина вскоре после подачи импульса, но со временем,

Как в классической, так и в квантовой динамике увеличение энтропии можно рассматривать как происходящее из-за неполных исходных данных: по мере того, как недостающая информация становится экспериментально доступной, это приводит к члену ошибки или ненулевой энтропии Шеннона/фон Неймана, связанной с наблюдаемой. часть системы.