Как может увеличиваться энтропия в квантовой механике?

Полная энтропия изолированной системы действительно не меняется при эволюции во времени Шредингера. Чтобы убедиться в этом, заметим, что (предполагая для простоты, что гамильтониан не зависит явно от времени) матрица плотности системы удовлетворяет уравнению фон Неймана$\rho(t) = e^{-i H t / \hbar}\, \rho(0)\, e^{i H t / \hbar}$, так$\rho(t)$а также$\rho(0)$всегда унитарно эквивалентны и, следовательно, имеют одинаковые спектры собственных значений. Поэтому любая энтропийная мера, зависящая только от весов матрицы плотности (а это, практически, все они), постоянна во времени.

Но энтропия запутанности между подсистемами действительно может увеличиваться, потому что подсистемы не изолированы. Таким образом, если система, скажем, начинается в состоянии продукта без пространственной запутанности между ее подсистемами, то в общем случае эволюция Шредингера во времени приведет к увеличению запутанности между подсистемами, поэтому локальноеэнтропия, связанная с каждой маленькой частью всей системы, действительно будет увеличиваться, даже если общая энтропия остается постоянной. Этот факт основан на очень неклассическом свойстве энтропии фон Неймана, состоящем в том, что сумма энтропий подсистем может быть больше, чем энтропия системы в целом. (Действительно, при изучении запутанности основного состояния мы часто рассматриваем системы, в которых подсистемы имеют очень большую энтропию запутанности, но система в целом находится в чистом состоянии и поэтому имеет нулевую энтропию!)

Подобласти «термализации собственных состояний», «распространения запутанности» и «локализации многих тел» — которые сегодня активно изучаются — изучают способы, которыми эволюция Шредингера во времени различных систем приводит или не приводит к увеличению энтропия запутанности подсистем, даже если энтропия системы в целом всегда остается неизменной.

Хотя тпаркер выражает общепринятое мнение, я с ним не согласен. Энтропия в замкнутых системах — будь то квантовые или классические — действительно может увеличиваться . Это должно быть совершенно очевидно с физической точки зрения: представьте, что у вас есть закрытый ящик с газом, где в начальном состоянии весь газ находится в верхнем левом углу ящика, со временем он явно гомогенизируется с определенным увеличением энтропии. Эта интуиция ничем не отличается в квантовом контексте, но я попытаюсь прояснить это подробнее в дальнейшем.

Конечно, если вы говорите$S = k \log \left( \dim \mathcal H \right)$, она не может меняться со временем. Но это не обязательно выражение для энтропии замкнутой системы. В общем, то, что вы подставляете под логарифм, — это объем фазового пространства, согласующийся с тем, что вы знаете о своей закрытой системе. Если все, что вы знаете о своей системе, — это ее гильбертово пространство (классический аналог: все, что вы знаете о ящике, — это его классическое фазовое пространство), то вы обязательно должны ожидать, что система будет находиться в состоянии полной максимальной энтропии (классический аналог: вы будем догадываться, что газ в ящике однородный), в этом случае конечно со временем ничего не изменится.

Однако в других случаях вы можете знать больше о своей системе, например, вы можете знать некоторое (начальное) неоднородное пространственное распределение (эта спецификация называется макросостоянием ). Классически энтропия этого состояния вычисляет объем$\Omega$охватывается всеми микросостояниями (то есть точками в фазовом пространстве), согласующимися с этим макросостоянием (эквивалентно можно сказать, что переменные макросостояния разделяют фазовое пространство). Логарифмирование этого числа дает вам энтропию закрытой системы в этом макросостоянии. Это известная энтропия Больцмана . $S = k \log \Omega$, и это, безусловно, увеличивается со временем для закрытых систем (если, конечно, вы уже не начали в состоянии максимальной энтропии). [Интересно отметить, что энтропия Гиббса не может увеличиваться для замкнутых систем (следствие теоремы Лиувилля), что показывает, что энтропия Больцмана, осмелюсь сказать, лучше. Некоторые говорят, что энтропия Больцмана — это частный случай энтропии Гиббса, но это только скучный случай максимальной энтропии.]

То же самое верно и в квантовом случае: предположим, что у вас есть изолированная система с некоторым гильбертовым пространством$\mathcal H \cong \mathbb C^N$. Предположим, что все, что вы знаете о системе, — это список ожидаемых значений некоторых наблюдаемых. Рассмотрим множество состояний$\mathcal S \subset \mathcal H$соответствует этому знанию. Мы хотим назначить разумный объем$\Omega_{\mathcal S}$к этому так, что мы можем затем определить энтропию Больцмана$S = k \log \Omega_{\mathcal S}$. Если все , что мы знаем, это гильбертово пространство (т. е. мы имеем полное невежество, так что$\mathcal S = \mathcal H$), то имеет смысл определить$\Omega = \dim \left( \mathcal H \right) = N$так как тогда энтропия аддитивна: при добавлении двух несвязанных систем их гильбертовы пространства представляют собой тензорные произведения, так что их размерности умножаются и, следовательно,$\log \Omega$действительно является аддитивным. Это согласуется с тем, что записал ваш профессор. В более общем случае, если$\mathcal S$является просто подобластью полного пространства, мы бы назначили$\Omega$быть соответствующей дробью. Это можно разумно определить следующим образом: пусть$\pi: \mathbb C^N \to \mathbb CP^{N-1}$обозначим проекцию на проективное гильбертово пространство (т. е. мы модифицируем калибровочной степенью свободы), то теперь мы имеем компактное многообразие (с подмногообразием$\pi(\mathcal S)$) такой, что мы можем назначить