Понимание типичных непертурбативных вычислений в КТП [закрыто]

1) Наблюдаемые в теории поля являются (T-упорядоченными) корреляционными функциями. Эти корреляционные функции имеют возмущающие (P) и непертурбативные (NP) вклады, но связь между корреляторами и наблюдаемыми, очевидно, одинакова, независимо от того, преобладают ли в корреляторе эффекты P или NP. Например, корреляционная функция векторных токов КХД

$$\Pi_{\alpha\beta}(x) = \langle j_\alpha(x) j_\beta(0)\rangle$$ связано со знаменитым $R$соотношение $e^+e^-\to {\it hadrons}$над $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, $$R(s)\sim \pi\, {\rm Im}\,\Pi(q^2=s+i\epsilon),$$ где $\Pi_{\alpha\beta}(q)=(g_{\alpha\beta}q^2-q_\alpha q_\beta)\Pi(q^2)$, и я опустил некоторые факторы, связанные с зарядами кварков. Корреляционная функция известна пертурбативно по четырем или пяти петлям (я потерял счет), и она имеет поддающийся вычислению инстантонный вклад.

2) Обыкновенная теория возмущений исходит из расширения вокруг тривиального вакуума. Непертурбативные эффекты возникают при расширении вокруг нетривиальных седловых точек,$A_\mu=A_\mu^0+\delta A_\mu$, где$A_\mu^0$— поле (мульти)инстантона, монополя и т. д. В ведущем порядке это совершенно классический расчет, а в более высоком порядке — пропагаторы в фоновом поле (мульти)инстантона (и т. д.). Вы можете рассматривать эти пропагаторы и вершины фонового поля как новый набор правил Фейнмана.

3) Во взаимодействии эффектов P и NP есть много тонкостей. Например, P-теория в общем случае расходится (даже не поддается суммированию по Борелю), и любая попытка определить пертурбативную сумму обычно включает NP-неоднозначности вида$\exp(-2/g)$, где$g$является муфтой. Эти неоднозначности должны компенсироваться неоднозначностями NP более высокого порядка, явление, известное как возрождение.

4) На практике хитрость заключается в том, чтобы найти корреляционные функции, которые обращаются в нуль во всех порядках теории возмущений, имеют вычисляемые непертурбативные эффекты и связаны с интересной физической наблюдаемой. Возможным примером может быть$U(1)_A$загадка в КХД, потому что разница масс (эффект массы кварка игнорируется) между$\eta'$и пион обращается в нуль во всех порядках теории возмущений. Эта разность масс имеет инстантонный вклад, но его нельзя надежно вычислить (из-за ИК-проблемы инстантонной физики в КХД).

5) Были выполнены некоторые интересные расчеты, которые удовлетворяют критериям в 4). К ним относятся: i) конденсат глюино в${\cal N}=1$SUSY Yang-Mills [1] , ii)$\eta'$масса в КХД высокой плотности [2] , iii) Некоторые корреляционные функции в КХД [3] , iv) Конденсат кварков и константа распада пиона в деформированной КХД [4] .

Что касается Вашего узкого вопроса, просто пример.

Предположим, что наивное уравнение PCAC для подгруппы$U_{A}(1)$полной глобальной киральной группы симметрии$U_{L}(3)\times U_{A}(3)$КХД. Это дано

$$\tag 1 \partial_{\mu}J^{\mu}_{5} \simeq f\partial^{2}\eta{'} = -m_{\eta{'}}^{2}f\eta{'},$$ где $\eta{'}$будет девятым псевдоскалярным псевдоголдстоуновским бозоном КХД, $f \simeq f_{\pi}$- связанная величина, определяющая ширину его распада, и $m_{\eta'}$это масса, созданная ненулевым $u,d,s$-массы кварков. Это наивное уравнение $(1)$, однако, модифицируется осевой аномалией: $$\tag 2 f_{\pi}\partial^{2}\eta{'} \simeq -m_{\eta{'}}^{2}f_{\pi}\eta{'} + \frac{3g^{2}}{16\pi^{2}}G_{\mu\nu}^{a}\tilde{G}^{\mu\nu,a},$$ где $a$обозначает индекс цвета и $G$— напряженность глюонного поля. уравнение $(2)$говорит нам, что аномалия порождает эффективный член взаимодействия $$L_{\text{int}} = \frac{3g^{2}}{16 \pi^{2}}\frac{\eta{'}}{f_{\pi}}G_{\mu\nu}^{a}\tilde{G}^{\mu\nu,a}$$ Можно получить поправку к собственной энергии $\eta'$путем вычисления следующей функции Грина: $$\Pi(p^{2}) \equiv \frac{9g^{4}}{256 \pi^{4}f_{\pi}^{2}} \int d^{4}x e^{ipx}\langle \text{vac}|T\big(G(x)\tilde{G}(x)G(0)\tilde{G}(0)\big)|\text{vac}\rangle$$ В частности, его значение для $p = 0$генерирует поправку $\Delta m_{\eta'}^{2}$к $\eta{'}$масса, которая на самом деле гораздо больше исходной "голой" $m_{\eta{'}}^{2}$, приводя к решению так называемой $U_{A}(1)$проблема в КХД.

Интеграл пропорционален так называемой топологической восприимчивости$\kappa (p^{2})$, определяется как

$$\kappa (p^{2}) \equiv \int d^{4}x e^{ipx}\langle \text{vac}|T\big(G(x)\tilde{G}(x)G(0)\tilde{G}(0)\big)|\text{vac}\rangle$$ Оно, как известно, порождается инстантонами непертурбативно, так как определяется флуктуациями квадратов топологических зарядов. Его можно дать в виде $$\tag 3 \Pi(p^{2}) \simeq \frac{1}{2f_{\pi}^{2}}\int d^{4}x e^{ipx}\left(\frac{\delta^{2}E(\theta)}{\delta\theta(x)\delta\theta(0)}\right)_{\theta = 0},$$ где $E(\theta)$КХД $\theta$-вакуумный эффективный потенциал, определяемый евклидовым интегралом по траекториям $$\tag 4 e^{-E(\theta)} \equiv \int DG_{\mu}D\bar{\psi}D\psi e^{-S_{\text{QCD}} - \int d^{4}x\theta G_{\mu\nu}\tilde{G}^{\mu\nu}}$$ Расчеты приведены в следующей статье , гл. 5. Некоторые общие идеи о том, как вычислить эту величину, даны в Weinberg's QFT Vol. 2, 23.7. Существенно то, что $(3)$порождается флуктуациями вокруг стационарных точек экспоненты $(4)$, которые являются инстантонными растворами.