Имеет ли аномалия ABJ для абелева калибровочного поля топологический аргумент?

В случае неабелевых калибровочных теорий инстантоны классифицируют главные$SU(N)$связки$P$с помощью второго класса Черна$c_2(P)$(Для других калибровочных групп нам могут понадобиться дополнительные топологические инварианты для классификации). Они являются самодвойственными решениями уравнений Янга-Миллса, но их топологический класс, т. е. другие конфигурации, принадлежащие тому же пучку, вообще говоря, не являются самодвойственными и не являются решениями уравнений движения. Топологический член дает общий вес для всех этих конфигураций, принадлежащих одному и тому же расслоению в интеграле по путям.

В случае калибровочных теорий U(1) над компактом$4-$многообразие$\mathcal{M}$, самодуальные поля хотя и существуют в общем случае, но не характеризуют главные расслоения, и, кроме того, как максвелловский член, так и тета-член обращаются в нуль для чисто самодуальной (антисамодуальной) конфигурации.

Однако могут быть нетривиальные расслоения U (1), поэтому топологический тета-терм действительно дает разные веса разным расслоениям в интеграле по путям.

Основные U(1) расслоения$Q$относятся к первому классу Черня. Поскольку первый класс Черна представлен абелевым калибровочным полем, тета-терм имеет вид:

$$\mathcal{L}_{\theta} = \theta \int F \wedge F = \theta \int c_1(Q) \wedge c_1(Q)$$

Так, например, абелев топологический член не обнаруживает элемент четвертой группы когомологий$H^4(\mathcal{M})$который не может быть разложен как произведение клина двух элементов$H^2(\mathcal{M})$.

Так как на компактном многообразии должно выполняться условие квантования Дирака:

$$\frac{q}{2\pi \hbar} \int_{\sigma} F = m(Z) \in \mathbb{Z}$$ где, $Z$двумерный цикл на $M$. ( $m(Z)$подсчитывает единицы потока через поверхность $Z$), затем разлагая $F$как линейная комбинация двух интегральных форм топологический член становится: $$(\frac{q}{2\pi \hbar})^2 \int_{\mathcal{M}} F \wedge F = \sum_{i, j = 1}^{b_2} m(Z_i) Q_{ij }m(Z_j)$$ (См. следующую работу Олив (уравнение (3)).

Целочисленная матрица$Q_{ij}$— обратная матрица пересечения, т. е. ее обратная матрица отсчитывает количество точек пересечения циклов$Z_i$и$Z_j$.

Однако самодуальные поля входят в индекс Дирака, но они входят благодаря взаимодействию с фоновым гравитационным полем многообразия.$\mathcal{M}$. Индекс оператора Дирака-Вейля на компакте$4-$размерное многообразие определяется как:

$$\mathrm{ind}(D_A) = (\frac{q}{2\pi \hbar})^2 \int_{\mathcal{M}} F \wedge F - \frac{\eta}{8}$$ где $\eta$является подписью Хирцебруха, которая представляет собой разницу между количеством Гармонических самодуальных и Гармонических антисамодуальных двух форм на $\mathcal{M}$. (Пожалуйста, см. Олив и Луис Альварес-Гоме .