Определяют ли касательные двух окружностей концентрические окружности?

Даны две непересекающиеся окружности, р 1 и р 2 . Радиусы р 1 и р 2 может быть разным. Расстояние между центрами г. р 1 и р 2 определяется как Икс .

Проведите четыре касательные между р 1 и р 2 . Там будут две касательные, которые пересекаются между р 1 и р 2 и две касательные, которые не пересекаются между собой р 1 и р 2 . Назовите две касательные, которые пересекают внутренние касательные, и две касательные, которые не пересекают внешние касательные.

Я утверждаю, что можно нарисовать две концентрические окружности, С 1 и С 2 . С 1 будет иметь четыре точки касания внутренних касательных на его окружности и С 2 будет иметь четыре точки касания внешних касаний на его окружности.

Я помню, как решал эту задачу, используя школьную геометрию, основы алгебры и некоторые триггеры, но на этом все закончилось. 20 много лет назад.

Верно ли мое утверждение? Если да, то каково решение?

Я смутно помню, что одним из ключевых моментов было замечание, что радиусы, пересекающиеся в точках касания, перпендикулярны касательной.

Ответы (1)

Для неравных радиусов это эквивалентно серединным перпендикулярам всех внутренних и внешних касательных отрезков, пересекающихся в одной точке. По симметрии эта точка находилась бы на линии центров, и нужно проверить ее только для одного внутреннего и одного внешнего отрезка. На самом деле кажется, что точка должна быть серединой отрезка, соединяющего центры, и как только вы заметили, что это легко доказать, потому что биссектриса параллельна радиусам, соединяющим центры с точками касания, и находится на полпути между ними. две линии, продолжающие эти радиусы. Этот аргумент справедлив и в случае равных радиусов.

Я понимаю, как биссектрисы касательных образуют окружности. Чего я не могу доказать, так это того, как эти два круга соцентричны. Я вижу, что хорды между точками касания имеют один и тот же биссектрису, а биссектриса проходит через центр окружности, но я не могу показать, как оба центра являются одной и той же точкой.
Я понял. Мое решение состоит в том, чтобы построить трапецию с внешней касательной, одним радиусом от каждой окружности и отрезком, соединяющим центры. Биссектриса касательной также делит пополам отрезок, соединяющий центры. Возьмите внутреннюю касательную, один радиус от каждой окружности и отрезок, соединяющий центры. Расширьте один из радиусов в коллинеарном направлении на противоположной стороне от центральной линии. Образуется новая трапеция с касательной, противоположной центральной линии. Биссектриса делит центральную линию. Обе окружности имеют один и тот же центр.
Для любого из касательных сегментов радиусы (отрезки, соединяющие центр с точками касания) и биссектриса касательного сегмента перпендикулярны касательной, поэтому биссектриса перпендикуляра параллельна радиусам. В семействе всех прямых, параллельных радиусам, координатой служит расстояние по любой линии, поперечной семейству. В любой такой координате (здесь мы используем координату от линии центров) перпендикулярная биссектриса находится на полпути между радиальными линиями и, таким образом, проходит через середину линии центров.
Определяют ли касательные двух окружностей концентрические окружности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v