Попытка связать эйлеровы и лагранжевы возмущения

Question

Попытка связать эйлеровы и лагранжевы возмущения

Нестор

Я пытаюсь понять связь между (линейным) эйлеровым (то есть в данной точке) и лагранжевым (следующим за жидким элементом) возмущением. Здесь я выскажу не только то, где я застрял, но и свое текущее понимание темы, поэтому прошу, если вы обнаружите какое-либо заблуждение, пожалуйста, укажите на него!

>> Фон

До сих пор я (думаю, я) знаю, что в эйлеровом возмущении, если $h(\boldsymbol{r},t)$ – возмущенная величина, где $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_0+\boldsymbol{\delta r}$ - новый вектор положения и $\boldsymbol{\delta r}$ небольшое смещение вокруг $\boldsymbol{r}_0$ , затем

час (р, т) "=" {час}_{0} (р) + {час}^{'} (р, т), (1)

$h(\boldsymbol{r},t)=h_0(\boldsymbol{r})+h'(\boldsymbol{r},t),\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$ где

h_{0} (r)

$h_0(\boldsymbol{r})$ - количество в состоянии равновесия, оцененное при

r

$\boldsymbol{r}$ и

h^{'} (r, t)

$h'(\boldsymbol{r},t)$ является небольшим возмущением.

С другой стороны, лагранжево возмущение $\delta h(\boldsymbol{r})$ можно записать как

дельта час (р) "=" час (р_{0} + дельта р) - {час}_{0} (р_{0}) "=" [час (р_{0}) + дельта р \cdot \nabla {час}_{0} (р_{0})] - {час}_{0} (р)

$\delta h(\boldsymbol{r})=h(\boldsymbol{r}_0+\boldsymbol{\delta r})-h_0(\boldsymbol{r}_0)=\left[h(\boldsymbol{r}_0)+\boldsymbol{\delta r}\cdot \nabla h_0(\boldsymbol{r}_0)\right]-h_0(\boldsymbol{r})$ или, используя соотношение, найденное для эйлерова возмущения, ур.

(1)

$(1)$ , оценивается в

r_{0}

$\boldsymbol{r}_0$ ,

дельта час (р) "=" {час}^{'} (р_{0}) + дельта р \cdot \nabla {час}_{0} (р_{0}) .

$\delta h(\boldsymbol{r})=h'(\boldsymbol{r}_0)+\boldsymbol{\delta r}\cdot \nabla h_0(\boldsymbol{r}_0).$

>> Вопрос

Что у меня есть проблемы с отношением $\delta h(\boldsymbol{r})$ и $h'(\boldsymbol{r},t)$ . Оба являются малыми возмущениями, но в этом случае имеется явная зависимость от $\boldsymbol{r}_0$ к $\delta h(\boldsymbol{r})$ . Однако, если я исправлю $\boldsymbol{r}_0$ , оба представляют возмущение этой точки, так что... почему они разные? Моя интуиция (вероятно, запутанная знанием; спасибо QM) подсказывает мне, что они равны, но обозначения различаются почти в каждой книге, которую я читал по этой теме. Может ли кто-нибудь пролить свет здесь?

Ответы (1)

Попытка связать эйлеровы и лагранжевы возмущения

Аргопулос · Answer 1

Эйлерово описание — это карта из точки в реальном пространстве. $x$ (индексы скрыты) и этикетка жидкости $\Phi$ что находится в $x$ в то время $t$ , а именно $(t,x)\rightarrow (t,\Phi(t,x))$ . Физические наблюдаемые обычно являются функциями $\Phi$ и его производные $\partial\Phi$ (если нет внешних источников), таких как $h=h(\Phi,\partial\Phi)$ . Это соответствует стандартному подходу теории поля. Наоборот, лагранжево описание — это обратное отображение в любой момент времени из жидкого элемента, помеченного символом $\Phi$ к своему положению в реальном пространстве $x(t)$ , а именно $(t,\Phi)\rightarrow (t,x(t,\Phi))$ . Связывание двух описаний - это просто вопрос изменения переменных, например $h(\Phi)$ становится $\tilde{h}(t,x)=h(\Phi(t,x))$ при переходе к лагранжевой формулировке (в предположении, что $h$ скалярная величина). Немного злоупотребляя обозначениями, принято не включать тильду выше.

Вернемся к исходному примеру из теории возмущений: когда вы говорите $x_0+\delta x$ в лагранжевой формулировке вы на самом деле имеете в виду какой-то жидкий элемент $\Phi_0$ которого нет в $x_0$ больше, а скорее в $x(t,\Phi_0)=x_0(t,\Phi_0)+\delta x(t,\Phi_0)$ . Я также могу прочитать это, говоря, что в точке $x_0$ Я нахожу новый жидкий элемент, то есть $\Phi_0+\delta\Phi$ (Эйлерово описание). По согласованности этих двух описаний, т.е. $(\Phi_0+\delta\Phi)(t,x_0+\delta x)=\Phi_0(t,x_0)$ , мы получаем

дельта Φ "=" - {\frac{\partial Φ^{я}}{\partial {Икс}^{Дж}} |}_{{Икс}_{0}} дельта {Икс}^{Дж} .

$\delta\Phi=-\left.\frac{\partial \Phi^i}{\partial x^j}\right|_{x_0}\delta x^j\,.$ Теперь представьте, что вас интересует некоторая физическая величина

\tilde{h} (t, x) = h (t, Φ (t, x))

$\tilde h(t,x)=h(t,\Phi(t,x))$ . Таким образом, возмущение читается

дельта \tilde{час} "=" - {\frac{\partial час}{\partial Φ^{я}} |}_{Φ_{0}} {\frac{\partial Φ^{я}}{\partial {Икс}^{Дж}} |}_{{Икс}_{0}} дельта {Икс}^{Дж} .

$\delta \tilde{h}=-\left.\frac{\partial h}{\partial \Phi^i}\right|_{\Phi_0}\left.\frac{\partial \Phi^i}{\partial x^j}\right|_{x_0}\delta x^j\,.$

Можете ли вы физически объяснить разницу? я вижу математическую; физический, которого я не понимаю.
@argopulos Пожалуйста, зарегистрируйте свою учетную запись, вы сможете без проблем редактировать и комментировать свои сообщения.
@nestor: я попытался прояснить, в чем заключаются возмущения, отредактировав свой ответ. Физической разницы нет, дело только в том, какие координаты вам больше нравятся.

Попытка связать эйлеровы и лагранжевы возмущения

Нестор

Ответы (1)

Аргопулос

Нестор

пользователь68

Аргопулос

Почему существуют звездные границы?

Учитывая температуру, состав, плотность столба и радиальную скорость, могу ли я найти объемный поток газового облака?

Что означает «равновесие под действием собственной силы тяжести» для жидкого тела?

Давление темной материи

Почему космологическое содержимое часто моделируется как жидкость?

Как образуются ударные волны в космосе?

Как запасается угловой момент в сверхтекучей составляющей пульсаров?

№ Маха должно быть постоянным для существования подобия решения

Эквивалентны ли цилиндрическая и сферическая формы уравнений Джинса?

Используются ли в астрофизике какие-либо усовершенствованные модели жидкости с усреднением по Рейнольдсу?