Пошаговый алгоритм решения уравнений Эйнштейна

Question

Пошаговый алгоритм решения уравнений Эйнштейна

ксакса

Я не могу до конца понять, что такое обычный метод решения уравнений Эйнштейна в ОТО, когда нет удобных подсказок вроде сферической симметрии или независимости от времени.

Например, как можно вывести метрику Шварцшильда, начиная с произвольных координат $x^0, x^1, x^2, x^3$ ? Я даже не понимаю форму тензора энергии-импульса в таком случае - очевидно, она должна быть пропорциональна $\delta(x - x_0(s))$ , где $x_0(s)$ является параметризованной мировой линией частицы, но если метрика заранее неизвестна, как мне получить $x_0(s)$ без каких-либо априорных предположений?

Торстен Херкуле Кярлеман

Существует метод возмущений, приводящий к метрике слабого поля.

ксакса

@TorstenHĕrculĕCärlemän, что делать, если поле не слабое?

Торстен Херкуле Кярлеман

Ну, вы всегда можете рассматривать уравнения поля как систему дифференциальных уравнений в частных производных и решать их численно. Конечно, будут упрощения, такие как тождества Бьянки и т. д.

ксакса

Это то, чего я не понимаю - например, система двух точечных масс - как записать тензор энергии-импульса?

Селена Рутли

Не моя область, но я считаю, что «сингулярности», такие как точечные массы, заменяются аналитическими решениями (Шварцшильда и т. д.) вблизи массы, а численное моделирование выполняется в дискретном пространстве-времени вне этой области: аналитическое решение устанавливает граничные условия при выбранная ограничивающая поверхность, которая «вырезает» массу.

пользователь 23660

Посмотрите на формализм ADM для разложения 3 + 1 с явными формулировками задачи Коши / уравнениями эволюции для метрики. Версия, более подходящая для числовых расчетов, называется формализмом БССН .

Ответы (1)

Пошаговый алгоритм решения уравнений Эйнштейна

Существует метод возмущений, приводящий к метрике слабого поля.
@TorstenHĕrculĕCärlemän, что делать, если поле не слабое?
Ну, вы всегда можете рассматривать уравнения поля как систему дифференциальных уравнений в частных производных и решать их численно. Конечно, будут упрощения, такие как тождества Бьянки и т. д.
Это то, чего я не понимаю - например, система двух точечных масс - как записать тензор энергии-импульса?
Не моя область, но я считаю, что «сингулярности», такие как точечные массы, заменяются аналитическими решениями (Шварцшильда и т. д.) вблизи массы, а численное моделирование выполняется в дискретном пространстве-времени вне этой области: аналитическое решение устанавливает граничные условия при выбранная ограничивающая поверхность, которая «вырезает» массу.
Посмотрите на формализм ADM для разложения 3 + 1 с явными формулировками задачи Коши / уравнениями эволюции для метрики. Версия, более подходящая для числовых расчетов, называется формализмом БССН .

Любош Мотл · Answer 1

Любош Мотл

Во-первых, не существует механического алгоритма для решения общего дифференциального уравнения. Уравнения Эйнштейна, очевидно, не являются исключением — на самом деле, они относятся к более сложным и менее «разрешимым» уравнениям среди тех, о которых можно узнать. Аналитически записываемые решения существуют только в очень особых, простых и/или симметричных случаях (достаточно простые уравнения, описывающие достаточно простые физические ситуации).

Во-вторых, уравнения Эйнштейна не определяют метрику однозначно. Даже при четко определенных начальных/граничных условиях они определяют решение (метрическое тензорное поле) только с точностью до общего преобразования координат (которое может быть определено 4 функциями $X^\mu(x^\nu)$ старых координат). Это означает, что из 10 компонент симметричного метрического тензора только 6 функций действительно независимо являются физическими. Когда мы накладываем 4 условия «фиксации калибровки» на поле метрического тензора, мы эффективно определяем «правильные» координаты, и у нас остается 6 независимых уравнений для оставшихся 6 функций, которые определяют метрический тензор как функцию координат. Уравнения Эйнштейна внешне представляют собой 10 уравнений, но 4 из них (точнее 4 уравнения, построенные из производных этих уравнений и самих уравнений), ковариантная дивергенция $\nabla_\mu (G^{\mu\nu} - K\cdot T_{\mu\nu})=0$ , соблюдаются одинаково, поэтому они не ограничивают метрику.

В-третьих, общая теория относительности может также содержать точечные массы, точечные источники гравитационного поля, которые действительно добавляют своего рода дельта-функцию к метрическому тензору. Если это так, то общая теория относительности представляет собой связанную систему взаимодействующих дифференциальных уравнений Эйнштейна в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений для мировых линий, которые могут быть параметризованы, например, формулой $t(x^i)$ или иным образом (например, используя вспомогательный параметр времени вдоль мировой линии, что требует от нас иметь дело с избыточностью одномерного преобразования координат, аналогичного четырехмерному выше). В качестве альтернативы материя может быть описана электромагнитными полями, полями Клейна-Гордона, Дирака и другими. В этом случае мы имеем дело со связанной системой многих дифференциальных уравнений в частных производных – уравнений Эйнштейна, уравнений Максвелла, уравнений Дирака и уравнений Клейна-Гордона с различными исходными членами.

ксакса

Я не рассчитываю найти аналитическое решение - я не совсем понимаю, как сформулировать задачу так, чтобы это была полная система уравнений + граничные условия. Выбрав 4 ограничения на

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ как мне приступить к подключению координат с

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ ?

Любош Мотл

Дорогая xaxa,

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ и

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ и

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ просто тензоры т.е. пакеты из 10 функций четырех координат

x^{λ}

$x^\lambda$ ; тензоры кривизны выражаются через метрический тензор и их производные по стандартным формулам. Таким образом, уравнения Эйнштейна представляют собой наборы дифференциальных уравнений в частных производных, как и любой другой набор. Тензоры представляют собой наборы функций координат в том, как они «связаны» с координатами - любая другая «связь», о которой вы думаете, вероятно, означает, что вы не понимаете концепцию дифференциального уравнения.

ксакса

Это все прекрасно, но если смысл координат неизвестен, как мне найти

T_{μ ν} (x)

$T_{\mu\nu}(x)$ ? Это вопрос связи между физикой и математикой. Например, в координатах Шварцшильда

r

$r$ есть «расстояние», однако под горизонтом оно превращается во «время». Таким образом, исходное физическое утверждение о том , что точечная частица покоится в начале координат, на самом деле неверно. Но в данном конкретном случае действует «направляющий» принцип сферической симметрии. Что такое процедура в общем случае?

Любош Мотл

Дорогая xaxa,

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ это просто еще одно тензорное поле, набор функций x. Она определяется в терминах других, более фундаментальных степеней свободы. Для электромагнитного поля это выражается с помощью

F F

$FF$ продуктов, и аналогично для других областей. Для идеализированных точечных масс

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ имеет вид массы, умноженной на дельта-функцию, локализованную в нужном месте

x^{μ} (τ)

$x^\mu(\tau)$ , и так далее. Более фундаментальные степени свободы, такие как

F_{μ ν} (x^{λ})

$F_{\mu\nu}(x^\lambda)$ или

x^{μ} (τ)

$x^\mu(\tau)$ являются функциями, которые также ограничены дифференциальными уравнениями (аналогичными Ньютона, Максвелла или Дирака)!

Любош Мотл

Что касается вашего «примера», частица «в покое» — если она описывается в терминах полей, таких как криволинейная геометрия, — означает, что окружающая геометрия статична, а симметрия Шварцшильда статична (имеет вектор Киллинга, который подобен времени при бесконечность). Можно также «разрезать» пространство-время вокруг частицы и заменить его плоским пространством с эквивалентным тензором энергии-импульса точечной массы, и тогда эта точечная масса покоится в специальном релятивистском смысле. Все такие утверждения верны при наличии правильных определений. Я не могу решить другие примеры, потому что у каждого «примера» есть новый ответ.

Любош Мотл

Вы должны понять простую вещь — и я действительно не понимаю, почему это должно быть трудно — что

g_{μ ν} (x^{λ})

$g_{\mu\nu}(x^\lambda)$ ,

F_{μ ν} (x^{λ})

$F_{\mu\nu}(x^\lambda)$ ,

X^{μ} (τ)

$X^\mu(\tau)$ и т. д. являются функциями некоторого числа переменных, и физика говорит вам, что дифференциальные уравнения им должны подчиняться. Такие объекты, как

R_{μ ν} (x^{μ})

$R_{\mu\nu}(x^\mu)$ и

T_{μ ν} (x^{λ})

$T_{\mu\nu}(x^\lambda)$ выражаются как известные функции полей из предыдущего предложения и их производные. Для полноты задачи необходимо также задать некоторые начальные и/или граничные условия для полей

g, F, X (τ)

$g,F,X(\tau)$ и т.д. с первого предложения.

ксакса

Уважаемый @Luboš, HNY Вам! Кажется, вы не совсем поняли мой вопрос. Я понимаю, что такое тензор и как

G_{μ ν}

$G_{\mu\nu}$ построен из

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ . Мой вопрос больше о зависимости

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ на

x

$x$ . Даже если у нас есть простое ЭМ-поле, так что

T

$T$ построен из

F

$F$ , еще где-то есть токи

j

$j$ и/или граничные условия. Пример проблемы: Два провода разделены расстоянием

a

$a$ и постоянный ток

j_{0}

$j_0$ проплывает сквозь них. Вопрос: найти грав. поле.

ксакса

Сол: Если я окажусь в произвольной системе координат, как мне узнать, что такое расстояние?

a

$a$ ? Это

Δ x^{1}

$\Delta x^1$ или

Δ x^{2}

$\Delta x^2$ или

\sqrt{(Δ x^{1})^{2} + (Δ x^{3})^{2}}

$\sqrt{(\Delta x^1)^2 + (\Delta x^3)^2}$ ? Ок, говоришь - выбирай

x

$x$ чтобы это было

Δ x_{1}

$\Delta x_1$ . Но это будет работать только при наличии двух проводов. А если у меня миллион проводов? есть только 4 координаты ... Чтобы рассчитать расстояние, измеренное световым лучом (или чем-то еще), я должен знать

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ заранее . Таким образом, такого рода проблемы, кажется, перепутаны с решениями. Как я могу быть уверен, что каждая такая проблема разрешима? Как я могу написать

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ ?

Любош Мотл

Дорогая @xaxa, это ты говоришь о количестве

a

$a$ , так что это вы должны знать, как это определяется! Вы, вероятно, имеете в виду какую-то правильную длину,

min \int d s

$\min\int ds$ , между двумя проводами, да? Но более важным моментом является то, что нигде не может быть произвольных проводов. Как я уже писал, расположение каждого отрезка провода также определяется динамическими (дифференциальными) уравнениями типа Ньютона! То же самое верно для местоположений и скоростей зарядов и всего прочего в этом роде.

Любош Мотл

В частности, тензорное поле

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ нельзя вставлять произвольно. Как я уже писал, она должна быть рассчитана из последовательной теории «материи», гарантирующей

\nabla_{μ} T^{μ ν} = 0

$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ поскольку одно и то же уравнение выполняется одинаково независимо от конфигурации метрического тензорного поля для тензора Эйнштейна

G_{μ ν}

$G_{\mu\nu}$ ! Вы получите ковариантно сохраняющийся тензор энергии-импульса из уравнений Максвелла на фоне и из других «полных теорий», но вы просто не можете навязать уравнения Эйнштейна «любому» полю.

T_{μ ν} (x^{λ})

$T_{\mu\nu}(x^\lambda)$ .

Любош Мотл

Это полностью аналогично негравитационному случаю уравнений Максвелла.

\partial_{μ} F^{μ ν} = j^{ν}

$\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$ могут быть наложены только на

j

$j$ повиноваться

\partial_{μ} j^{μ} = 0

$\partial_\mu j^\mu=0$ , для локально сохраняющегося тока, потому что это тождество может быть получено путем дифференцирования уравнений Максвелла с

F

$F$ с

\partial_{ν}

$\partial_\nu$ .

Пошаговый алгоритм решения уравнений Эйнштейна

ксакса

Торстен Херкуле Кярлеман

ксакса

Торстен Херкуле Кярлеман

ксакса

Селена Рутли

пользователь 23660

Ответы (1)

Любош Мотл

ксакса

Любош Мотл

ксакса

Любош Мотл

Любош Мотл

Любош Мотл

ксакса

ксакса

Любош Мотл

Любош Мотл

Любош Мотл

Тензор энергии-импульса и ковариантная производная

Тензор энергии-импульса и зависимость от системы координат в общей теории относительности

Интерпретация нормальных координат

Контрпример к определению сферической симметрии в общей теории относительности

Что такое тензор энергии напряжения?

Почему абсолютный градиент метрического тензора ∇αgµν=0∇αgµν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 в любой системе координат? [дубликат]

Как найти нулевую геодезическую?

Действие Эйнштейна-Гильберта не дает тех же результатов, что и уравнения поля Эйнштейна для данной метрики.

Приложения общей теории относительности, отличные от гравитации

Что свидетельствует об интерпретации gμνgμνg_{\mu\nu} как метрики пространства-времени?