Построение повторений so(1,3)so(1,3)\mathfrak{so}(1,3) с использованием so(1,3)≅su(2)⊕su(2)so(1,3)≅su( 2)⊕su(2)\mathfrak{so}(1,3)\cong \mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2)

Определение для$(n_1,n_2)$представление в вопросе почти правильное, но не совсем.$(A,B)(v_1\otimes v_2)=(Av_1)\otimes(B v_2)$не является линейным действием и, вероятно, даже не определено четко (рассмотрите$A=A_1+A_2$и$B=B_1+B_2$).

Ответ заключается в различном значении тензорного произведения представлений. Есть два разных способа формирования тензорных произведений представлений, и они объясняются в книге Брайана Холла «Группы Ли, алгебры Ли и представления», 2-е изд., определения 4.19 и 4.20. Холл пишет после этих двух определений:

Обозначения, к сожалению, неоднозначны, так как если$\Pi_1$и$\Pi_2$являются представителями одной и той же группы$G$, мы можем рассматривать$\Pi_1\otimes\Pi_2$либо как представление$G$или как представление$G\times G$. Поэтому мы должны быть осторожны, определяя, каким образом мы думаем о$\Pi_1\otimes\Pi_2$.

Чтобы прояснить эти два разных способа, мы должны определить их:

Определение 1. (Тензорное произведение как представление$\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$). Позволять$\Pi_1$и$\Pi_2$— два представления двух алгебр Ли$\mathfrak{g}$и$\mathfrak{h}$. Позволять$V_1$и$V_2$— векторные пространства, на которых они действуют. Тогда мы можем определить представление$\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$на$V_1\otimes V_2$, задав групповое действие$(\pi_1,\pi_2)\cdot (v_1\otimes v_2)=(\pi_1\cdot v_1)\otimes v_2+v_1\otimes (\pi_2\cdot v_2)$. Это представление иногда обозначают$\Pi_1\otimes \Pi_2$. Для наших целей назовем это$\Pi_1\otimes_1 \Pi_2$

Определение 2. (Тензорное произведение как представление$\mathfrak{g}$). Позволять$\Pi_1$и$\Pi_2$быть двумя представлениями одной и той же алгебры Ли$\mathfrak{g}$. Позволять$V_1$и$V_2$— векторные пространства, на которых они действуют. Любой$a\in \mathfrak{g}$может действовать на элемент$V_1$или элемент$V_2$в силу этих двух представлений. Тогда мы можем определить представление$\mathfrak{g}$на$V_1\otimes V_2$, задав групповое действие$a\cdot (v_1\otimes v_2)=(a\cdot v_1)\otimes v_2+v_1\otimes (a\cdot v_2)$для$a\in \mathfrak{g}$. Это представление, что сбивает с толку, также иногда обозначается$\Pi_1\otimes \Pi_2$. Давайте назовем это$\Pi_1\otimes_2 \Pi_2$

Помимо углового момента имеем, например,$\mathbf{\frac{3}{2}}\otimes_2 \mathbf{\frac{3}{2}}\cong \mathbf{3}\oplus \mathbf{2}\oplus \mathbf{1}\oplus \mathbf{0}$, приводимое представление$\mathfrak{su}(2)$. (Обратите внимание, что нет двусмысленности для прямой суммы, как это определено определением Холла. 4.12. Обе стороны являются повторениями$\mathfrak{su}(2)$).

В нашем случае мы определяем$\left(\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2\right)=\mathbf{n}_1\otimes_1\mathbf{n}_2$, неприводимое представление$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$. Я могу предположить, что обозначение в скобках принято вместо обозначения тензорного произведения, чтобы подчеркнуть разницу между двумя способами, но на самом деле это некое тензорное произведение двух представлений!

Путаница в вопросе была вызвана вопросом, если$\left(\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2\right)$является тензорным произведением, почему у нас нет$\left(\mathbf{\frac{1}{2}},\mathbf{\frac{1}{2}}\right)\cong\mathbf{1}\oplus\mathbf{0}$? Ответ состоит в том, что правая часть является представлением$\mathfrak{su}(2)$в то время как левая часть является представлением$\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2)$, так что две стороны не могут быть изоморфны.

Вероятно, лучше всего придерживаться определения 2 в физике, чтобы значение тензорных произведений в сложении углового момента оставалось однозначным. Оба эти представления действительно действуют на тензорное произведение двух основных векторных пространств, но действия разные, и алгебры, которые они представляют, разные.