Чем спинорные индексы отличаются от пространственно-временных или индексов Лоренца?

Большая часть того, что я пишу, уже написана в других ответах/комментариях, но, возможно, вам поможет следующее:

Когда вы говорите о$SU(2)$Spinor-преобразования, я думаю, вы говорите о нерелятивистских спинорах (?) (иначе это должно быть$SL_2(\mathbb{C})$), поэтому не следует рассматривать его как подгруппу$\mathcal{L}^{\uparrow}_+$, если вообще,$\mathcal{L}^{\uparrow}_+ \subset SL_2(\mathbb{C})$. Или, в вашем случае (если моя гипотеза верна),$SO(3) \subset SU(2)$.

Важно то, что в любом случае мы рассматриваем двойное покрытие$f: SU(2) \to SO(3)$(или группы Лоренца). Итак, представление, при котором преобразуется спинор, по самому определению спинора является представлением$SU(2)$, сказать,$\rho: SU(2) \to GL(\mathbb{C}^4)$что не соответствует представлению$SO(3)$. Однако оно подходит для проективного, т. е. «двузначного» представления$SO(3)$. В контексте квантовой механики это не проблема, поскольку они оба дают одно и то же состояние. Однако если вы не работаете в проективном пространстве, вы не можете говорить о Лоренце (или$SO(3)$) преобразование поля/частицы$\zeta$, и поэтому вы вынуждены рассматривать его как преобразование, заданное двойным накрытием.

Математически, как указано в комментариях, это сводится к рассмотрению спиноров как участков векторного расслоения, связанных со спиновой структурой и представлением, то есть$\zeta \in \Gamma(P_{SU(2)}(M) \times_{\rho} \mathbb{C}^4)$где$M$это$3$размерно ориентированное риманово многообразие, снабженное спиновой структурой (заметим, что$Spin(3) \cong SU(2)$, тогда как$Spin(1,3) \cong SL_2(\mathbb{C})$). (Может быть, на более знакомом языке,$\zeta' = \rho(A) \zeta$, где$\zeta'$является спинором после преобразования$B = f(A) \in SO(3)$,$A \in SU(2)$). Если бы он «преобразовывался при преобразовании Лоренца» (или$SO(3)$в нашем контексте) это будет элемент$\Gamma(P_{SO(3)}(M) \times_{\Lambda} \mathbb{C}^4)$где$\Lambda: SO(3) \to GL(\mathbb{C}^4)$ваше представление выбора.

Это действительно кажется излишним, а уточнение, безусловно, приводит к еще большему излишеству, и на самом деле это просто небольшая разработка того, что уже написано в комментариях и других ответах.

Наконец, чтобы ответить на ваш вопрос: разные индексы указывают на разные векторные пучки (эквивалентно: разные группы симметрии и другое соответствующее представление), о которых я упоминал ранее - по крайней мере, я так думаю...

Хотя группа Ли одна и та же, представления не совпадают. Группы Ли приходят в различных неприводимых представлениях . 4-вектор пространства-времени представляет собой представление со спином 1, тогда как спиноры имеют представление со спином 1/2.

Подумайте о гильбертовом пространстве. Например, в простейшем случае правильным является тензорное произведение (здесь вам даже не нужна структура векторного расслоения) евклидова пространства-времени и спинорного пространства.

Соответствующая группа симметрии тогда является прямым произведением группы симметрии (вы можете рассматривать либо Лоренца, либо Пуанкаре), описывающей преобразования, живущие в пространстве-времени, и группы SU(2), описывающей преобразования, живущие в спинорном пространстве. Поэтому индексы следует рассматривать отдельно.

Дело не в представлениях: группа симметрии больше, и, если говорить о репутации, следует говорить о репутации новой группы.