Можно ли разложить алгебру Ли sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) в прямую сумму двух sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb {Р})?

1. С одной стороны, как 6-мерные вещественные алгебры Ли , мы имеем следующие изоморфизмы

   $$\begin{align}so(4;\mathbb{R})~&\cong~su(2)\oplus su(2),\qquad\qquad\text{(compact form)}\\ so(2,2;\mathbb{R})~&\cong~sl(2,\mathbb{R})\oplus sl(2,\mathbb{R}),\qquad\qquad\text{(split form)}\\ so(3,1;\mathbb{R})~&\cong~sl(2,\mathbb{C}).\qquad\qquad\text{(simple Lie algebra)}\end{align}$$ В частности, предложенное OP разложение (1) невозможно.$^1$как вещественные алгебры Ли.

2. С другой стороны, как 6-мерные комплексные алгебры Ли, мы имеем следующий изоморфизм

   $$so(p,q;\mathbb{C})~\cong~sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C}), \qquad p+q~=~4.$$ См. также этот и этот связанные посты Phys.SE.

--

$^1$В самом деле, алгебра Ли

является простой алгеброй Ли , потому что каждый ненулевой элемент алгебры Ли

является циклическим вектором .

Набросок доказательства: с помощью преобразований подобия мы можем предположить, что$\sigma_0$находится в нормальной форме Джордана . Есть два случая.

1. случай$\sigma_0= \begin{pmatrix} \lambda &0\cr 0&-\lambda\end{pmatrix}$диагональ, где$\lambda\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$. Затем

   $$[\sigma_0,\sigma]~=~\left[\begin{pmatrix} \lambda &0\cr 0&-\lambda\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a&b\cr c&-a\end{pmatrix} \right] ~=~\begin{pmatrix} 0&2\lambda b\cr -2\lambda c&0\end{pmatrix}.$$ Другими словами, мы можем сгенерировать все недиагональные матрицы. В частности, мы можем сгенерировать исходную матрицу для другого случая 2.

2. случай$\sigma_0= \begin{pmatrix} 0 &1\cr 0&0\end{pmatrix}$является нильпотентным. Затем

   $$[\sigma_0,\sigma]~=~\left[\begin{pmatrix}0 &1\cr 0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\cr \lambda&0\end{pmatrix} \right] ~=~\begin{pmatrix} \lambda &0\cr 0&-\lambda\end{pmatrix}.$$
   Другими словами, мы можем сгенерировать все диагональные матрицы без следа. В частности, мы можем сгенерировать начальную матрицу для другого случая 1.

В целом мы можем сгенерировать все бесследовые матрицы.$\Box$

$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$действительно равно$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$. Знаменитое представление дается$L_{-1}$,$L_0$,$L_1$алгебры Вирасоро для первой копии$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{R})$, а их сопряжениями$\overline{L}_{-1}$,$\overline{L}_0$,$\overline{L}_1$для второго.