Как получить матрицы Гелл-Манна?

Его можно получить с помощью простых свойств$SU(N)$групповое матричное представление.

Во-первых, представляя матрицу$\hat {U}$групповой почти единичной матрицы,$\hat {U} = \hat {E} + \hat {A}$, можно (сохраняя линейность$\hat {A}$) получить свойства$\hat {A}$:

$$\hat {U}\hat {U}^{+} = \hat {E} \Rightarrow \hat {A}^{+} = -\hat {A}, \quad det \hat {U} = 1 \Rightarrow Tr(\hat {A}) = 0.$$ Первое условие приводит к отсутствию действительной части диагональных составляющих$\hat {A}$и к представлению недиагональных компонент в виде$A_{ij} = a_{ij} + ib_{ij}, A_{ji} = -a_{ij} + ib_{ij}$. Второе приводит к состоянию$\sum_{i} A_{ii} = 0$, но кроме этого параметризация диагональных компонент произвольна.

Таким образом, для$SU(3)$представления нетрудно видеть, что соответствующая матрица

$$\hat {A} = i\begin{pmatrix} a_{3} + a_{8} & a_{1} - ia_{2} & a_{4} - ia_{5} \\ a_{1} + ia_{2} & a_{8} - a_{3} & a_{6} - ia_{7} \\ a_{4} + ia_{5} & a_{6} + ia_{7} & -2a_{8} \end{pmatrix}.$$ Остается только разложить матрицу в сумму$\sum_{i}a_{i}\hat {R}_{i}$, где$\hat {R}_{i}$являются матрицами Гелл-Манна.