Противоречие в лагранжевом и гамильтоновом формализме?

Question

Противоречие в лагранжевом и гамильтоновом формализме?

доннидм

Могут ли как лагранжев, так и гамильтонов формализм привести к разным решениям?

У меня есть простая система, описываемая лагранжианом

л (η, \dot{η}, θ, \dot{θ}) "=" η \dot{θ} + 2 θ^{2} .

$\begin{equation} L(\eta,\dot{\eta},\theta,\dot{\theta})=\eta\dot{\theta}+2\theta^2. \end{equation}$ Уравнения движения получаются из уравнения Эйлера-Лагранжа:

\begin{array}{rcl} 4 θ - \dot{η} "=" 0 а н г \dot{θ} "=" 0, \end{array}

$\begin{eqnarray} 4\theta-\dot{\eta}=0\; \mathrm{and}\; \dot{\theta}=0, \end{eqnarray}$ получение решения

η (t) = 4 θ_{0} t + η_{0}

$\eta(t)=4\theta_0t+\eta_0$ где

η_{0}

$\eta_0$ и

θ_{0}

$\theta_0$ являются константами.

Но когда я получаю одно из уравнений движения из гамильтониана (через преобразование Лежандра),

ЧАС "=" (\frac{\partial л}{\partial \dot{η}}) \dot{η} + (\frac{\partial л}{\partial \dot{θ}}) \dot{θ} - л "=" - 2 θ^{2},

$\begin{equation} H=\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\eta}\right)\dot\eta+\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\right)\dot\theta - L =-2\theta^2, \end{equation}$

\dot{η} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial п_{η}} "=" 0,

$\begin{equation} \dot\eta=\frac{\partial H}{\partial p_\eta}=0, \end{equation}$ ситуация удивительно отличается от лагранжевого подхода, потому что

η

$\eta$ теперь константа!

Может ли кто-нибудь дать правильное объяснение этому несоответствию? Я делаю что-то не так здесь?

Qмеханик

Подсказки: 1. Для начала есть основное ограничение

p_{η} \approx 0

$p_{\eta}\approx 0$ . 2. Я обсуждаю этот пример в своем ответе Phys.SE здесь .

ДжамалС

Навскидку, обратите внимание, что, как вы вычислили,

\frac{\partial L}{\partial \dot{η}} = 0

$\frac{\partial L}{\partial \dot \eta} = 0$ и так

p_{η} = 0

$p_\eta = 0$ . Как таковой,

H

$H$ не может быть записана как некоторая единственная функция

p_{η}

$p_\eta$ в любом случае, и я не думаю, что

\frac{\partial H}{\partial p_{η}}

$\frac{\partial H}{\partial p_\eta}$ было бы хорошо определено.

лалала

Попробуйте рассчитать

p_{η}

$p_\eta$ ist ноль. Таким образом, вы не можете выразить скорость через импульсы. Это называется системой ограничений. Дирак написал небольшую книгу, как с этим справиться (поскольку электродинамика также является системой ограничений, это имеет отношение к физике).

Ответы (1)

Противоречие в лагранжевом и гамильтоновом формализме?

Подсказки: 1. Для начала есть основное ограничение $p_{\eta}\approx 0$ . 2. Я обсуждаю этот пример в своем ответе Phys.SE здесь .
Навскидку, обратите внимание, что, как вы вычислили, $\frac{\partial L}{\partial \dot \eta} = 0$ и так $p_\eta = 0$ . Как таковой, $H$ не может быть записана как некоторая единственная функция $p_\eta$ в любом случае, и я не думаю, что $\frac{\partial H}{\partial p_\eta}$ было бы хорошо определено.
Попробуйте рассчитать $p_\eta$ ist ноль. Таким образом, вы не можете выразить скорость через импульсы. Это называется системой ограничений. Дирак написал небольшую книгу, как с этим справиться (поскольку электродинамика также является системой ограничений, это имеет отношение к физике).

Дж. Г. · Answer 1

Проблема здесь в том, что, поскольку существуют ограничения вида $f(q,\,p)=0$ , координаты фазового пространства обычной гамильтоновой формулировки не являются независимыми. Я не уверен, как вы столкнулись с этим лагранжианом, но эта проблема является обычным сбоем в электромагнетизме и (если вы простите более неясный пример) квантовании BRST. Хорошая новость заключается в том, что вы все еще можете составить гамильтоново описание, эквивалентное лагранжеву. Хитрость заключается в добавлении подходящих членов к «наивному» гамильтониану, как описано здесь , и в результате скобки Пуассона модернизируются до того, что называется скобками Дирака.

Для вашей проблемы полный гамильтониан $H=-2\theta^2+c_1 p_\eta+c_2( p_\theta-\eta)$ , где $c_i$ остается вычислить как функции недифференцированных координат фазового пространства. Фактически $c_1=\frac{\partial H}{\partial p_\eta}=\dot{\eta}=4\theta$ пока $c_2=\frac{\partial H}{\partial p_\theta}=\dot{\theta}=0$ , так $H=-2\theta^2+4\theta p_\eta$ . Вы можете убедиться, что это дает вам правильные уравнения движения.

Спасибо! На самом деле это часть возмущенного НУШ-лагранжиана после попытки найти решение вариационным методом. Покрывает ли процедура Дирака весь лагранжиан «неправильных» форм?
@donnydm Учитывая любой лагранжиан с согласованными уравнениями движения, этот метод обеспечит эквивалентную гамильтонову формулировку, хотя, если есть производные более высокого порядка, вам также понадобится трюк из-за Остроградского. (Примером несовместимого лагранжиана является $L=q$ .)

Противоречие в лагранжевом и гамильтоновом формализме?

доннидм

Qмеханик

ДжамалС

лалала

Ответы (1)

Дж. Г.

доннидм

Дж. Г.

Различные результаты для гамильтониана диска, катящегося по наклонной плоскости

Как найти гамильтониан из этого простого лагранжиана? (сложный)

Вычислить преобразование Лежандра для сингулярного лагранжиана

Преобразование Лежандра лагранжиана с ограничениями

Канонический формализм в координатах светового конуса

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Уравнения движения свободной частицы на сфере

Могут ли множители Лагранжа зависеть от координат?

Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы

Почему ppp и qqq являются независимыми переменными в гамильтоновом формализме?