Поток жидкости между ветвями

Сочащийся мед по трубам

Приведенное ниже решение предназначено для очень вязкой жидкости с незначительной инерцией и большой вязкостью. Это неверно для воды в реальных трубах, потому что не учитывается перепад давления, связанный с изменением скорости воды. Этот член имеет более высокий порядок по v, но он, очевидно, актуален для настоящих водопроводчиков. Я оставляю это, потому что это интересное упражнение с прямой аналогией резистивного течения тока, правильное решение в конце.

Способ сделать это состоит в том, чтобы отметить, что давление в точке расхождения одинаково для всех 4 труб и что существует заданный закон падения давления вдоль трубы на единицу длины при любом заданном расходе. Ответ зависит от того, есть ли у вас фиксированное давление, нагнетающее воду через трубы (как вы делаете в водопроводной системе), или вы нагнетаете заданный объем воды в единицу времени, как вы предполагаете, и что является подходит, когда у вас большой перепад давления в очень длинной трубе, прежде чем вы доберетесь до разветвителя.

Я предполагаю, что 4 трубы имеют заданную длину и что они опорожняются при атмосферном давлении, которое я обозначу как 0, и что расход воды достаточен, чтобы поддерживать трубы заполненными до точки выхода, в противном случае задача требует больше информация. Сначала рассмотрим задачу с фиксированным расходом. Если заданный расход составляет F единиц воды в секунду, первое уравнение представляет собой уравнение сохранения массы.

$$\sum_i f_i = F$$

Где$f_i$- расходы по трубам. Эту формулу дал Фил Зитт, но ее недостаточно --- она ​​аналогична действующему Закону Кирхгофа. Вам также понадобится аналог закона Кирхгофа для напряжения.

Закон напряжения говорит вам, что скорость потока$f_i$пропорциональна перепаду давления в трубе i. Я буду называть константу пропорциональности «проводимостью потока».$C_i$(это аналог обратной величины сопротивления в электрической цепи):

$$f_i = C_i \Delta P$$

Для четырех труб,$\Delta P$равно, так что

$$f_i \propto C_i$$

и вместе с правилом сумм вы найдете:

$$f_i = {C_i f \over \sum_i C_i }$$

Поэтому единственное, что вам нужно знать, это$C_i$, как и в резисторной сети.

Две трубы с проводимостью потока$C_1,C_2$соединенные последовательно, имеют проводимость потока C, определяемую формулой:

$${1\over C} = {1\over C_1} + {1\over C_2}$$

Для тех же двух труб, соединенных параллельно,

$$C = C_1 + C_2$$

Так что проводимости складываются последовательно и параллельно точно так же, как обратная величина сопротивления (электропроводность) в цепях. У вас есть проблема с 4 параллельными резисторами, подключенными последовательно к входному резистору, точно так же, как резистор, подключенный к 4 резисторам параллельно.

Для цилиндрической трубы длиной L и радиусом R профиль ламинарного течения точно параболический в радиальной цилиндрической координате r:

$$v(r) = V(1 - {r^2\over R^2})$$

так что общий поток как функция R равен

$$f(R) = \int_0^R v(r) 2\pi r dr = {\pi V R^2\over 2}$$

Уравнения Навье-Стокса сводятся к чему-то очень простому в случае ламинарного течения в трубе — все члены выпадают, кроме члена вязкости, который говорит вам о диффузии количества движения из трубы и, следовательно, о падении давления на единицу длины. (см. здесь: Существует ли аналитическое решение для потока жидкости в прямоугольном воздуховоде? )

Уравнение

$$\nu \nabla^2 v = \delta P$$

так что

$$2\nu {V\over R^2} = {\Delta P \over L}$$

Это дает вам скорость потока как функцию R и L,

$$f = {\pi V R^2 \over 4} = {\pi R^4\over 8\nu L} \Delta P$$

так что проводимость

$$C(R,L) = {\pi R^4 \over 8 \nu L}$$

А это определяет расход через i-ю трубу с точки зрения полного расхода и геометрии:

$$f_i = {f {R_i^4\over L_i} \over \sum_k {R_k^4\over L_k}}$$

Это решает проблему постоянного расхода чисто геометрически.

Предел постоянного расхода достигается, когда есть длинная труба, входящая во все это с гораздо большим перепадом давления, чем падение давления после разделения. Общий поток определяется общей проводимостью, которая по существу равна проводимости длинной трубы, поэтому неважно, что вы прикрепите на конце, главное, чтобы часть на конце имела гораздо большую проводимость, чем начальная труба.

Та же проблема может быть решена при фиксированном давлении в точке расхождения, исходящий поток — это просто произведение проводимости на общее давление. Что касается вопроса 2, вопрос о постоянном давлении или постоянном расходе является существенным. При постоянном давлении, если вы прикрепите приспособление к широкой водопроводной магистрали с высоким давлением, закрытие одной трубы никак не повлияет на поток в других трубах. При постоянном расходе закрытие трубы номер 4 увеличивает поток через остальные 3 в множитель

$$C_1 + C_2 + C_3 + C_4 \over C_1 + C_2 + C_3$$

Для нежестких труб вам просто нужно знать R как функцию давления. Это будет хорошим приближением, если падение давления в трубе, как обычно, медленное, так что радиус медленно меняется с длиной. В нормальных трубах радиус почти не меняется с давлением, поэтому я не стал ничего вычислять, но вы можете разделить трубу на части радиусом R(P), получив проводимость, которую вы добавить в соответствии с правилом серии.

Вода в трубах

Я предполагаю, что поток в трубах ламинарный, но трубы короткие, так что падение давления из-за вязкости между двумя концами незначительно. Это правильный предел для водопроводных труб. Давление действует на воду, которая не рассеивается значительно в трубах и выделяется в воде в виде кинетической энергии, а не в виде тепла в трубе.

При падении давления с P до атмосферного давления 0 вода в каждой из четырех труб изменит свою скорость так, чтобы соблюдался принцип Бернулли: работа, выполняемая давлением, равна энергии, полученной водой. Поток энергии в поперечном сечении трубы равен:

$$\int {\rho v(r)^2\over 2}v(r) 2\pi r dr$$

с ламинарным профилем (поток f прежний), что дает

$$f {\rho V^2\over 4}$$

Где V — скорость в центре, как и прежде. Работа, совершаемая разностью давлений на двух концах, равна$Pf$, так что вы получите версию уравнения Бернулли для ламинарных труб:

$$P + {\rho V^2\over 4} = {\rho V_0^2\over 2}$$

Тогда скорость в трубах

$$V= \sqrt{{4P\over \rho} + {V_0^2\over 2}}$$

и они равны. Так что расход в этом пределе (правом пределе для воды) пропорционален площади поперечного сечения трубы, R^2. Если у вас есть фиксированный расход, давление повышается до точки, где общий отток равен притоку, а поток воды разделяется в соответствии с площадью поперечного сечения:

$$f_i = {f R_i^2\over \sum_k R_k^2 }$$

Это пренебрегает входящей скоростью$V_0$, предполагая, что вода выходит значительно быстрее, чем вода поступает. Ответ для 2 и 3 не меняется в случае с водой по сравнению с медом.

1)

А ₁ v ₁ = А ₂ v ₂

Где A = площадь трубы, v = скорость потока.

2)

Предполагая, что все трубы имеют одинаковый размер, все они будут иметь одинаковый расход в соответствии с приведенной выше формулой - разделите правую часть на количество труб одинакового размера.

Если трубы не будут одинакового размера, вам придется использовать что-то вроде

А ₁ v ₁ = ( А ₂ v ₂ + А ₃ v ₃ + ... + А _Икс v _Икс )

Где A _2...x — площадь труб от 2 до X, а v _2...x — скорость труб от 2 до X.

3)

Я не знаю. Насколько я знаю, нет, жесткие и нежесткие трубы не будут иметь никакого эффекта. Остерегаться! Я не знаю. ГИЙФ!