Правильное обозначение тетрадного индекса

Кажется, существуют некоторые другие соглашения об индексах тетрады. Мне интересно, что является стандартом, что правильно, а что является злоупотреблением обозначениями.

В заметках Шона Кэрролла и в Википедии я вижу тетраду, представленную как$e^I_\mu$. Это обозначение безопасно для передачи намерений использования для преобразования индексов с греческого на латинский и наоборот, но как только вы начинаете повышать и понижать собственные индексы тетрады (как это делает Википедия), представление становится двусмысленным.$e^I_\mu$может представлять либо${e_\mu}^I$или может представлять${e^I}_\mu$, и эти два значения не равны.

В других источниках, таких как теория искривленного пространства Вирбейна Эйнштейна (Yepez 2008), делается различие, чтобы написать${e_\mu}^I$как преобразование из$\eta_{IJ}$к$g_{\mu\nu}$и${e^\mu}_I$как инверсия. Другие источники меняют греческий и латинский индексы и используют${e^I}_\mu$как преобразование из$\eta_{IJ}$к$g_{\mu\nu}$.

Я собираюсь использовать матричную математику, чтобы доказать свою точку зрения. Позволять$G = ||g_{\mu\nu}||$— матрица, представляющая ковариантный метрический тензор,$H = \eta_{IJ}$— матрица лоренцевского тензора,$E = ||{e_\mu}^I||$быть тетрадным преобразованием из$H$к$G$, и$(E^T)^{-1} = ||{e^\mu}_I||$быть преобразованием из$G$к$H$(перенесено для согласованности порядка индексов). Правила преобразования тетрады и их матричные эквиваленты следующие:

$$\begin{matrix} g_{\mu\nu} = {e_\mu}^I \eta_{IJ} {e_\nu}^J & & G = E H E^T \\ g^{\mu\nu} = {e^\mu}_I \eta^{IJ} {e^\nu}_J & & G^{-1} = (E^T)^{-1} H^{-1} E^{-1} \\ \eta_{IJ} = {e^\mu}_I g_{\mu\nu} {e^\nu}_J & & H = E^{-1} G (E^T)^{-1} \\ \eta^{IJ} = {e_\mu}^I g^{\mu\nu} {e_\nu}^J & & H^{-1} = E^T G^{-1} E \end{matrix}$$

Эти правила можно использовать, чтобы показать, что повышение и понижение тетрады прямого преобразования может привести к тетраде обратного преобразования, поэтому гимнастика индекса работает правильно на${e_\mu}^I$и${e^\mu}_I$:

$$\begin{matrix} {e^\mu}_I = g^{\mu\nu} {e_\nu}^J \eta_{IJ} & & (E^T)^{-1} = G^{-1} E H \end{matrix}$$

Неясность возникает, когда мы начинаем с${e_\mu}^I$и используйте индексную гимнастику, чтобы добраться до${e^I}_\mu$:

$${e_\sigma}^I g^{\sigma\nu} {e_\nu}^J \eta_{JK} {e_\mu}^K = {e^I}_\mu$$ Матричный эквивалент говорит: $$E^T G^{-1} E H E^T=E^*$$ Это можно переставить, чтобы показать $$G^{-1} E H=(E^T)^{-1} E^* (E^T)^{-1}$$ объединение этого с первым из приведенных выше тождеств дает $$(E^T)^{-1} E^* (E^T)^{-1} = (E^T)^{-1}$$ переставить: $$E^* = E^T$$ Мы получаем только $E^*=E$в случае, если $E=E^T$, что не является ограничением на значения ${e_\mu}^I$. Поэтому в целом ${e_\mu}^I \neq {e^I}_\mu$. Поэтому повышение или понижение неоднозначного $e^I_\mu$тензор метрическим тензором или тензором Лоренца может описывать одно из двух различных значений.

Что я собрал в целом из этого:

• С использованием$e^I_\mu$передается до тех пор, пока вы никогда не пытаетесь упростить$g^{\mu\nu} e^I_\mu$в любой$e^{\nu I}$или$e^{I \nu}$так как эти значения разные. Аналогично для$e^I_\mu \eta_{IJ}$в любой$e_{\mu J}$или$e_{J \mu}$. Запись в Википедии, которую я процитировал, действительно допускает эту ошибку.
• Используя либо${e_\mu}^I$или${e^I}_\mu$когда твоя тетрада трансформируется$\eta_{IJ}$к$g_{\mu\nu}$является более кратким, чем$e^I_\mu$, хотя не существует стандарта относительно того, какой из этих двух вариантов является правильным.
• Большинство источников сохранят сначала греческий язык, а затем латинский или наоборот, и никогда не будут выполнять достаточно гимнастики индекса, чтобы изменить этот порядок. Это безопасная ставка, чтобы не столкнуться с ситуацией, которую я описываю выше.

Хорошо, если оставить в стороне всю мою работу, как правильно ссылаться на тетраду?