Соответствует ли gμμgμμg _ {\ mu \ mu} в выражении правилу суммирования Эйнштейна?

Предположим, что у меня есть выражение для символа Кристоффеля:

$$\Gamma^\mu_{\alpha \beta}=\frac{1}{2}g^{\mu \lambda}(\partial_\alpha g_{\beta \lambda}+\partial_\beta g_{\alpha \lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha \beta}).\tag{1}$$

Если метрика$g_{\mu\nu}$является диагональным, то тождество

$$g^{\mu\lambda}g_{\lambda\nu}=\delta^\mu_\nu\tag{2}$$ упрощается до выражения $$g^{\mu\mu}g_{\mu\mu}=1.\tag{3}$$

Следовательно, правильно ли следующее выражение для символа Кристоффеля?

$$\Gamma^\mu_{\alpha \beta}=\frac{1}{2g_{\mu \mu}}(\partial_\alpha g_{\beta \mu}+\partial_\beta g_{\alpha \mu} - \partial_\mu g_{\alpha \beta}).\tag{4}$$

Правильно ли он подчиняется правилу суммирования Эйнштейна, поскольку повторение$\mu$индекс не суммируется?

Если выражение неверно, то как его записать?

Добавление

Хорошо, я вижу правильную манипуляцию для получения полностью ковариантной формы с использованием нотации Эйнштейна:

$$\begin{eqnarray}\tag{5} \Gamma_{\gamma\alpha\beta}&=&g_{\gamma\mu}\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\\ &=&\frac{1}{2}g_{\gamma\mu}g^{\mu\lambda}(\partial_\alpha g_{\beta\lambda} + \partial_\beta g_{\alpha \lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha\beta})\\ &=&\frac{1}{2}\delta^\lambda_\gamma(\partial_\alpha g_{\beta\lambda} + \partial_\beta g_{\alpha \lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha\beta})\\ &=&\frac{1}{2}(\partial_\alpha g_{\beta\gamma} + \partial_\beta g_{\alpha \gamma} - \partial_\gamma g_{\alpha\beta}) \end{eqnarray}$$

Это правильно, не так ли?