Тензорное обозначение производной и ковариантной производной

Все формулы, которые вы показали выше, используют нотацию абстрактного индекса, за исключением третьей формулы, которая полностью выражена, и является основой. Для векторного поля вы можете написать, например

$$V = V^\mu e_\mu\;,$$ где $V^\mu$является скаляром, а $e_\mu$является векторным базисом. Это своего рода путаница, потому что в нотации абстрактного индекса мы видим $V^\mu$как векторное поле.

Когда мы берем ковариантную производную, она читается

$$\nabla_\mu V=\nabla_\mu (V^\nu e_\nu) = \nabla_\mu (V^\nu) e_\nu + V^\nu \nabla_\mu ( e_\nu)$$ $$\begin{eqnarray} &=& \partial_\mu (V^\nu) e_\nu + V^\nu \Gamma_\mu{}^\lambda{}_\nu e_\lambda\;,\\ &=&\big( \partial_\mu V^\nu +\Gamma_\mu{}^\nu{}_\lambda V^\lambda\big)e_\nu \end{eqnarray}$$ Если мы определим $$\nabla_\mu V =: (\nabla_\mu V^\nu) e_\nu$$ мы будем иметь отношение в нотации абстрактного индекса $$\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu +\Gamma_\mu{}^\nu{}_\lambda V^\lambda\;.$$ (В более общем плане вы можете начать с $\nabla V$а затем определить $\nabla V =:(\nabla_\mu V^\nu) e^\mu \otimes e_\nu$) Далее метрика $g$, это (o, 2) тензор, поэтому он имеет два слота для вставки 2 векторов, если мы вставим базис в эти слоты, мы получим компонент метрического тензора, который является скалярным полем $$g(e_\mu, e_\nu)=g_{\mu\nu}$$

($g= g_{\alpha\beta} e^\alpha \otimes e^\beta,\;g(e_\mu, e_\nu) =g_{\alpha\beta} e^\alpha(e_\mu) \otimes e^\beta(e_\nu) =g_{\alpha\beta}\delta^\alpha_\mu \delta^\beta_\nu= g_{\mu\nu}$)

Также обычно определяют, что$\eta(A,B):= A\cdot B$,$\eta$является метрикой Минковского$A\cdot B$является скаляром, поэтому инварианты относительно преобразований координат

$$A\cdot B =\eta(A,B) \equiv \eta_{IJ} A^I B^J$$ $$= g(A,B) \equiv g_{\mu\nu} A^\mu B^\nu$$ где $A^I = e^I_\mu A^\mu$для некоторого скаляра $e^I_\mu$(vierbein), и вы можете легко доказать, что $g_{\mu\nu} = \eta_{IJ} e^I_\mu e^J_\nu$.

Итак, теперь у нас есть

$$e_\mu \cdot e_\nu =\eta_{IJ}e^I_\mu e^J_\nu= g_{\mu\nu}$$

На этом шаге мы можем просмотреть$\eta_{IJ},g_{\mu\nu}$как скалярные поля$e^I_\mu$как векторное поле

$$\begin{eqnarray} \nabla_\gamma g_{\alpha\beta} (= \partial _\gamma g_{\alpha\beta})&=& \nabla_\gamma (e_\alpha\cdot e_\beta) \\ &=&\eta(\nabla_\gamma e_\alpha,e_\beta) +\eta(e_\alpha,\nabla_\gamma e_\beta) \equiv \eta_{IJ}\nabla_\gamma(e^I_\alpha) e^J_\beta + \eta_{IJ}e^I_\alpha \nabla_\gamma(e^J_\beta) \\ &=&\eta(\Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha e_\rho,e_\beta) +\eta(e_\alpha,\Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta e_\sigma) \equiv \eta_{IJ}\Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha e^I_\rho e^J_\beta + \eta_{IJ}e^I_\alpha \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta e^J_\sigma \\ &=&\Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha \eta( e_\rho,e_\beta) + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta\eta(e_\alpha, e_\sigma) \equiv \Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha \eta_{IJ} e^I_\rho e^J_\beta + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta \eta_{IJ}e^I_\alpha e^J_\sigma \\ &=& \Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha e_\rho \cdot e_\beta + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta e_\alpha \cdot e_\sigma \equiv \Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha g_{\rho \beta} + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta g_{\alpha \sigma} \end{eqnarray}$$ Примечание. Не полностью подробно, насколько это возможно, но может быть полезно для вас.

Это может быть не тот ответ, который вы ищете, потому что я не предлагаю здесь интуицию, но с вычислительной точки зрения не так сложно понять, почему производная метрики включает символы Кристоффеля.

Аффинная связь, обычно используемая в общей теории относительности, выбрана так, чтобы не было кручения и чтобы она была совместима с метрикой . Второе условие означает, что ковариантная производная метрики обращается в нуль.

$$\nabla_\gamma g_{\alpha\beta} = 0.$$ Эти два условия однозначно определяют связь, которая называется связью Леви-Чивиты . Можно показать, что ассоциированная ковариантная производная произвольного 2-тензора удовлетворяет (см., например, ОТО Кэрролла, раздел 3.2): $$\nabla_\gamma T_{\alpha\beta} = \partial_\gamma T_{\alpha\beta} - \Gamma_{\gamma\alpha}^\mu T_{\mu\beta} - \Gamma_{\gamma\beta}^\mu T_{\alpha\mu}$$ Подключив метрику, заметив, что левая часть исчезает, и переставив метрику, вы получите желаемый результат.