Правило квантования Дирака

i) Прежде всего правило квантования Дирака

для магнитных монополей можно обобщить до условия квантования Дирака-Цванцигера-Швингера

для дионов . (Слегка злоупотребляя терминологией, мы в дальнейшем будем включать в определение дионов чисто электрически заряженные частицы и чисто магнитные монополи.)

II) Пусть$\Gamma=\{(q,g)\}$обозначим набор электрических и магнитных зарядов для дионов. Естественно думать о$\Gamma$как часть плоскости$\mathbb{R}^2$. Левая часть (2) имеет геометрический смысл как область со знаком, натянутая на два вектора$(q_1,g_1)$а также$(q_2,g_2)$.

III) Теперь предположим, что$\Gamma\backslash\{(0,0)\}$непусто, т.е. существует дион$(q_1,g_1)\neq(0,0)$начать с. Какие точки$(q_2,g_2)\in\Gamma$из$\mathbb{R}^2$не будет противоречить условию (2)? Ответ представляет собой набор равноудаленных дискретных прямых, параллельных вектору$(q_1,g_1)$.

IV) Теперь предположим, что$\Gamma$содержит не менее двух линейно независимых векторов$(q_1,g_1)$а также$(q_2,g_2)$. Какие точки$(q_3,g_3)\in\Gamma$из$\mathbb{R}^2$не будет противоречить условию (2)? Ответ - дискретная сетка/решетка точек пересечения, а именно там, где встречаются соответствующие два набора равноудаленных дискретных параллельных линий из раздела III. Другими словами, заряды квантуются.

V) В качестве частного случая, если существует хотя бы одна чисто электрически заряженная частица и хотя бы один чисто магнитный монополь, мы находимся в ситуации, описанной в разделе IV, и, следовательно, заряды должны быть квантованы.

Я думаю, что это правильный открытый вопрос. Если бы оказалось, что существует не один магнитный заряд g, а континуум магнитных зарядов, то условие квантования не было бы достаточным объяснением e.

Однако, чтобы на самом деле доказать, приводит ли континуум магнитных зарядов к какому-либо противоречию, потребуется, по крайней мере, решить задачу n тел с несколькими магнитными зарядами, что не является тривиальным вопросом даже для профессионалов в этой области. (или, по крайней мере, проблема трех тел с двумя магнитными зарядами, чтобы увидеть, возникает ли противоречие или подтверждение квантования)

Если эта тема затрагивалась в литературе, было бы хорошо, если бы кто-нибудь со знанием дела привел несколько цитат в качестве справочного материала для интересующихся.

1) Предположим, что существует минимальный ненулевой электрический заряд,$q_0$. Следовательно, минимальный магнитный заряд равен

2) Во-вторых, если теория сохраняет С и СР. Тогда дион$(q,g_0)$автоматически подразумевает сопряженный dyon$(-q,g_0)$. Применение условия Дирака-Цванцигера (см. ответ @Qmechanic) для этих двух дионов

или же,

Итак, у нас есть две возможности: электрический заряд$q$принимает целые числа, кратные$q_0$, или принимает нечетные целые числа, кратные$q_0/2$.

Я постараюсь ответить с чисто математической точки зрения. Правило квантования гласит, что для любого возможного$q$а также$g$, есть некоторые$n\in\mathbb{Z}$такой, что$qg=nh$.

Теперь рассмотрим множество$X=\{n\in\mathbb Z^+|\exists q\in Q^+, g\in G^+\ \mathrm{s.t.} \ qg=nh\}$, куда$Q^+$содержит все возможные положительные заряды и$G^+$содержит все возможные положительные магнитные заряды (магнитных монополей). Рассмотрим минимальный элемент$n_0$в наборе$X$, то есть некоторая$q_0$а также$g_0$что удовлетворяет$q_0g_0=n_0h$.

Обратите внимание, что часто предполагается, что$n_0=1$, но в этом доказательстве он не нужен.

Теперь рассмотрим некоторые$g\neq g_0$. затем$q_0g=nh$для некоторых$n$. С$n_0$минимален, мы имеем$n>n_0$. Поскольку оба$n$а также$n_0$являются целыми числами, мы имеем$n=pn_0+r, 0\leq r<n_0, p\in\mathbb{Z}^+$. Если$r\neq 0$, тогда$0<q_0(g-pg_0)=rh<nh$, что противоречит$n$минимален. Следовательно$r=0$. а также$g=pg_0$, так$g$квантуется в единицах$g_0$. Точно так же мы можем доказать, что$q$должно быть кратно$q_0$.

С математической точки зрения, единственные предположения, использованные выше, заключаются в том, что если$q$является действительным зарядом, то$-q$также является действительным обвинением, и что если$q_1$а также$q_2$действительные заряды, то$q_1+q_2$является действительным зарядом. То же самое для$g$. Я думаю, что эти предположения должны быть довольно естественными, учитывая физическую природу$q$а также$g$.