Существует ли лагранжева или гамильтонова формулировка электромагнетизма с непрерывным распределением магнитных монополей?

Уравнения Максвелла очень хорошо обобщаются , если мы добавим магнитные монополи: мы получим

$$\begin{align*} \partial_\mu F^{\mu \nu} &= J^\nu \\ \partial_\mu \tilde{F}^{\mu \nu} &= \tilde{J}^\nu, \end{align*}$$ где $F_{\mu \nu}$- электромагнитный тензор, $\tilde{F}_{\mu \nu} := \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} F^{\rho \sigma}$является двойственным тензором, и $J^\mu$и $\tilde{J}^\mu$- плотности электрического и магнитного тока соответственно. Мы можем использовать дифференциальные формы, чтобы сделать эти уравнения еще более компактными: $$\begin{align*} \mathrm{d} (\star F) &= J,\\ \mathrm{d} F &= \tilde{J}. \end{align*}\tag1$$

Известно, что КЭД может быть обобщена для включения точечных магнитных монополей, что приводит ко всем интересным явлениям, таким как условие квантования Дирака . (Это делается путем полного исключения монополей из пространства-времени и определения только калибровочного поля$A^\mu$от монополей, так что они действуют как топологические дефекты, преобразующие тривиальный принцип$\mathrm{U}(1)$расслоение, на котором калибровочное поле живет, до нетривиального расслоения. Это просто, когда траектории монополей задаются вручную, но я думаю, что есть также разумные способы придать монополям собственную динамику.)

А как насчет случая непрерывных распределений магнитных монополей? (Чтобы избежать мошенничества, скажем, что$\tilde{J}$опорой поля является вся область пространства-времени, динамику которой мы рассматриваем, хотя она все еще ограничена, так что поля хорошо определены.) В этом случае уравнение$\mathrm{d}F \neq 0$мешает нам ввести калибровочное поле$A$такой, что$F = \mathrm{d}A$в первую очередь. Вероятно, совсем не ясно, как квантовать такую ​​теорию, так что давайте просто остановимся на классическом случае. Чтобы еще больше упростить ситуацию, мы можем игнорировать закон силы Лоренца и рассматривать токи источника как фон, а не как динамические поля, так что нам нужно беспокоиться только об эволюции электромагнитного поля во времени. В этом случае уравнения (1) образуют вполне корректную систему связанных дифференциальных уравнений. Существует ли какой-либо известный/возможный лагранжиан или гамильтониан, уравнения движения которого задаются формулой (1)?