Предполагает ли теорема Кокса неявно три классических закона мышления?

Я читал о теореме Кокса давным-давно в « Теории вероятностей Джейнса: логика науки ». Он использовался для обоснования так называемой «логической» интерпретации вероятности. У меня сложилось впечатление, что теорема предполагает существующий мир, в котором каждое утверждение либо истинно, либо ложно, и наша ограниченная уверенность в этом существующем мире представлена ​​системой, изоморфной исчислению теории вероятностей.

Итак, я предполагаю, что три классических закона мышления

  • закон тождества
  • закон непротиворечия
  • закон исключенного третьего

неявно предполагаются верными в доказательстве теоремы, даже если они никогда не упоминаются в предположениях.

Однако полученное исчисление кажется достаточно надежным даже в тех случаях, когда нарушаются классические законы мышления. Возьмем, к примеру, континуум-гипотезу. Мы знаем, что она ни верна, ни недействительна, но мы все же можем смоделировать наше знание о ее достоверности, используя априорную вероятность 0,5. Не похоже, что мы придем к каким-то неверным выводам из-за этого. Однако кажется правдой то, что нам не удалось точно представить наши фактические знания и что мы можем упустить некоторые важные выводы, которые мы могли сделать из этих знаний.

Но насколько на самом деле вводит в заблуждение теорема Кокса? Есть ли какие-либо исследования ситуаций, когда он терпит крах? И если да, существуют ли модификации используемого исчисления, которые лучше справляются с этими ситуациями?

Неразумно приписывать вероятность континуум-гипотезе.
@RonMaimon Конечно, нет. Но априорная вероятность отличается от реальной вероятности . Это просто означает представлять субъективную «уверенность» или «предвзятость». Например, я довольно предвзято считаю, что «P не равно NP», поэтому я мог бы присвоить этому предположению априорную вероятность 0,99. Я признаю, что эти цифры мало что значат, особенно когда они относятся к предложениям, где маловероятно, что я получу дополнительную информацию, которая могла бы изменить мою предвзятость. У меня просто сложилось впечатление, что исчисление достаточно надежно, даже в тех случаях, когда классические законы мышления нарушаются.
Имеет смысл оценить вероятность P!=NP. Не имеет смысла оценивать вероятность CH. Первый — это вопрос с модельно-независимым ответом, второй — нет. Это все равно, что спросить: «Какова вероятность того, что группы абелевы?» Для этого нет никакой вероятности, потому что некоторые группы существуют, а некоторые нет.
@RonMaimon Я бы присвоил априорную вероятность 10 ^ -100 предположению, что (все) группы абелевы. Я просто могу не знать, что обоснованность этого утверждения зависит от модели. Возможно, P!=NP не был хорошим примером. По крайней мере, Джейнс, казалось, выступал за применение априорных вероятностей даже в тех случаях, когда ни классическая логика, ни частотные вероятности не подходили. Исключение предложений, лишенных смысла, основанных на субъективном суждении, звучит как хорошая идея. Но как насчет бессмысленных предложений, которые ускользают от этого субъективного суждения?
@Ron: Возможно, вы сможете выразить вероятность того, что CH может быть получен из ZF или чего-то подобного, нет? Я предполагаю, что именно это имел в виду Томас, говоря, что это "правда".
@Xodarap: Понятно. Да, до Коэна вы могли дать вероятность того, что ZF подразумевает CH (хотя она была бы низкой, учитывая то, что уже было известно в 1960 году). Но мы знаем, что сегодня ответ отрицательный, так что больше не имеет смысла иметь ненулевую вероятность (если не считать безумно маловероятную вероятность того, что каждый, кто интуитивно понимает Коэна, только что совершил ошибку, что примерно так же вероятно, как и все группы, абелев).
Три «закона мышления», взятые в виде формул (p->p), ~(p->^~p), (pv ~p), часто НЕ неявно принимаются как аксиомы в классической логической системе. Вы можете найти множество аксиоматических систем, в которых они не принимаются за аксиомы, а также вы можете найти системы естественного вывода, в которых нет аксиом. Вы также можете найти естественные системы вывода, которые не используют p|-p в качестве примитивного правила вывода.

Ответы (3)

Я не думаю, что полностью понимаю ваш пример о CH (мне кажется, вы действительно можете ошибиться, предположив, что CH истинно с вероятностью 1/2...), но я бы посоветовал вам проверить Философское значение Кокса . Теорема . Он выделяет некоторые области, в которых теорема Кокса может быть правдоподобно признана несостоятельной. (Один из них, как вы говорите, когда не работает закон исключенного третьего.)

С другой стороны, квантовые вероятности как байесовские вероятности демонстрируют связь между байесовской вероятностью и квантовой вероятностью (область, в которой дистрибутивное свойство не выполняется ). Так что эта идея вполне надежна даже в причудливом мире QM.

Спасибо за ссылки. В статье о КМ вообще не упоминается теорема Кокса. Теперь я прочитал немного больше о теореме Кокса. Существуют даже контрпримеры для случаев, когда верна классическая логика. Мой вывод состоит в том, что основные проблемы с этой теоремой носят не философский характер, а то, что используемые допущения сформулированы недостаточно явно. Предполагаемая структура пространства предложений является просто частью предположений и должна быть указана явно (т. е. является ли она σ-алгеброй, ортомодулярной решеткой или ???). Гипотеза Кокса и байесовская вероятность не идентичны.
@Thomas: Конечно, не идентичны, но одно часто используется для оправдания другого. Я согласен с большей частью того, что вы сказали, за исключением уточнения, что в самой теореме нет ничего плохого — просто люди могут использовать ее неоправданно.

Мне кажется, что здесь есть два разных вопроса — один относительно опоры на классическую логику, а другой — о теореме Кокса на практике. Последнее, как мне кажется, лучше подходит для математиков или статистиков — это, безусловно, выходит за рамки моей возможности ответить.

Первый вопрос, однако, является чисто философским вопросом.

Мне кажется, что теорема Кокса имплицитно опирается на классическую логику; но опять же, такова большая часть математики. Если мы отвергаем три закона классической логики, становится чрезвычайно трудно аргументировать что -либо рационально; однако у нас нет абсолютно никакой возможности их обосновать, и мы, как правило, вынуждены принимать их как аксиому.

Конечно, можно предложить неклассическую или девиантную логику, и есть те, кто это сделал, но они в лучшем случае имеют локальную применимость; большинство людей считают, что классическая логика больше всего подходит для повседневных операций.

Я предполагаю, что классическая логика работает нормально до тех пор, пока можно пренебречь взаимодействием между существующим миром, на который ссылаются утверждения, и логическими рассуждениями, включая их выводы. Однако теория вероятности изначально была мотивирована азартными играми, и в этом контексте может быть сильное взаимодействие, если разные игроки предвидят действия других игроков на основе их предполагаемых логических рассуждений. Но и фондовый рынок демонстрирует такие взаимодействия, как и эффекты плацебо в медицине. Так что классическая теория вероятностей и статистика обычно стараются быть осторожными...
Хотя я не знаю, что это делается, вы, безусловно, могли бы выдвинуть начальный аргумент, отвергающий классическую логику, например: начать с классической логики и показать, что при наличии классической логики логическая система L действительна; найти примеры, где L действителен, но классическая логика в чем-то не работает; доказать, однако, что при особых обстоятельствах L сводится к классической логике; показать, что оценка истинности L является таким обстоятельством. Тогда, по сути, можно было бы показать, что «классическая логика вместо этого говорит верить L, и L соглашается», что почти настолько хорошо, насколько это возможно.

Заявленная цель Кокса состояла в том, чтобы построить логику правдоподобного вывода . Это следует рассматривать как расширение стандартной (классической) логики. Одна из аксиом Кокса фактически требует, чтобы любая такая логика правдоподобного вывода была совместима со стандартной логикой. (В изложении теоремы Ван Хорном это называется R2 ). Как упоминалось в комментариях, Кокс не совсем ясно понимает, что именно предполагается (особенно, например, в отношении пространства предложений), но поскольку Кокс делает свои предположения ясными, его приверженность классической логике ясна.

Таким образом, ответ на вопрос — нет, в предположении Кокса о классической логике нет ничего неявного .

Предполагает ли теорема Кокса неявно три классических закона мышления?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v