Как можно взять скалярное произведение состояний, принадлежащих двум разным гильбертовым пространствам?

Вопрос 1. В случае спонтанного нарушения непрерывной симметрии, например U ( 1 ) симметрии, два разных вакуума можно обозначить как | θ ⟩ и | θ ′ ⟩ , и они принадлежат разным гильбертовым пространствам. Я часто сталкивался с внутренними произведениями вида

⟨ θ | θ ′ ⟩ "=" дельта ( θ − θ ′ )
например, в вопросе здесь от @innisfree. Имеет ли математический смысл брать скалярное произведение двух состояний, принадлежащих двум разным гильбертовым пространствам?

Вопрос 2 Нужно также посмотреть на статью в Википедии здесь , которая дает выражение формы ⟨ 0 | Дж 0 ( 0 ) | θ ⟩ ≠ 0 где Дж 0 нулевая составляющая тока Дж мю соответствует спонтанно нарушенной симметрии.

∙ Что делает гильбертово пространство Дж 0 действовать? Действует ли оно на гильбертовом пространстве, содержащем вакуум? | 0 ⟩ или тот, что содержит вакуум | θ ⟩ ?

∙ Какое гильбертово пространство соответствует состоянию Дж 0 | 0 ⟩ или Дж 0 | θ ⟩ жить? Принадлежит ли оно гильбертовому пространству, содержащему вакуум | 0 ⟩ или тот, что содержит вакуум | θ ⟩ ?

∙ В каком гильбертовом пространстве это скалярное произведение ⟨ 0 | Дж 0 ( 0 ) | θ ⟩ определенный?

Ответы (1)

Относительно вопроса 1:

Два гильбертовых пространства ЧАС А и ЧАС Б всегда можно рассматривать как взаимно ортогональные подпространства одного гильбертова пространства ЧАС . Алгебра наблюдаемых может не содержать каких-либо операторов, соединяющих эти два подпространства, но я не думаю, что есть какие-либо проблемы с рассмотрением таких отношений, как ⟨ а | б ⟩ "=" 0 с | а ⟩ е ЧАС А и | б ⟩ е ЧАС Б .

Однако, поскольку вопрос относится к спонтанно нарушенной непрерывной симметрии, с основными состояниями семейства, параметризованными непрерывным параметром θ , есть проблема с уравнением ⟨ θ | θ ′ ⟩ "=" дельта ( θ − θ ′ ) . Проблема в том, что это уравнение подразумевало бы существование несчетно бесконечного числа взаимно ортогональных векторов состояния, что подразумевало бы несепарабельность гильбертова пространства. Квантовая (полевая) теория обычно основывается на сепарабельном гильбертовом пространстве. Так что в этом случае я думаю, что ответ заключается в том, что эти разные вакуумные состояния не могут принадлежать одному и тому же (отделимому) гильбертовому пространству, поэтому уравнения, включающие их внутренние произведения, сомнительны.

Конечно, даже вводные тексты QM часто пишут что-то вроде ⟨ Икс | Икс ′ ⟩ "=" дельта ( Икс − Икс ′ ) в отношении «собственных состояний оператора положения», но это также плохо определено по той же причине. Оператор положения не имеет собственных состояний и в любом случае не определен во всем гильбертовом пространстве, потому что он неограничен.

Относительно вопроса 2:

Я не понимаю, как местный оператор может соединить два разных основных состояния SSB. Однако мы можем иметь отношение вида ⟨ 0 | Дж 0 ( Икс ) | π ⟩ ≠ 0 , где | 0 ⟩ является основным состоянием и | π ⟩ — это состояние, содержащее единственный бозон Голдстоуна, где этот единственный бозон живет в мире, основное состояние которого равно | 0 ⟩ , а не в мире, основное состояние которого | θ ⟩ с θ ≠ 0 . Эта взаимосвязь показана, например, на странице 332 в этой статье: «Спонтанное нарушение симметрии и состояния нулевой массы», https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103840121 , по состоянию на 26 октября 2018 г. Обозначение в статье в Википедии об этом не очень ясно, но я подозреваю, что имелось в виду именно это.

Чтобы подтвердить это предположение о том, что могло означать статья в Википедии, та же самая связь (локальный ток, соединяющий вакуумное состояние с состоянием одного бозона , а не с другим вакуумным состоянием) показана в Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Volume II , уравнение (19.2.34) точно в том же контексте спонтанно нарушенной глобальной симметрии.

Как можно взять скалярное произведение состояний, принадлежащих двум разным гильбертовым пространствам?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v