Преобразование между последовательными и параллельными цепями

Определение импеданса этой цепи требует реализации правильного инструмента. Если вы используете анализ грубой силы, просто рассматривая последовательно-параллельную комбинацию, вы можете быстро закончить с алгебраическим параличом, если процитировать доктора Миддлбрука, который подделал теорему о дополнительных элементах или EET, из которой происходят методы быстрой аналитической схемы или FACT .

Принцип прост: определить постоянные времени цепи при наблюдении в двух разных условиях. Когда возбуждение обнулено, вы определяете естественные постоянные времени для цепи, временно отключая каждый энергоаккумулирующий элемент и «просматривая» его соединительные клеммы, чтобы определить сопротивление.$R$. Затем вы формируете постоянную времени$\tau$равно либо$RC$или$\frac{L}{R}$. Сопоставление всех этих естественных постоянных времени образует знаменатель$D(s)$.

Во втором условии возбуждение возвращается на место, и вы определяете сопротивление, «видимое» через соединительные клеммы рассматриваемых энергоаккумулирующих элементов, но при обнулении отклика. Затем эти вновь определенные постоянные времени будут собраны для формирования числителя$N(s)$.

В этом упражнении для определения входного импеданса стимулом будет источник тока, а откликом будет напряжение, возникающее на его клеммах. Чтобы обнулить возбуждение, мы выключаем источник тока или просто размыкаем его. Затем мы «смотрим» на сопротивление, предлагаемое энергоаккумулирующим элементом. Это то, что показано на следующих эскизах:

Для первых эскизов определяется постоянная времени, в то время как другие элементы остаются в своих состояниях постоянного тока: закороченная катушка индуктивности и открытые конденсаторы. Затем для постоянной времени 2-го порядка один элемент устанавливается в свое высокочастотное состояние, пока вы «смотрите» на рассматриваемые клеммы для определения сопротивления. Когда вы читаете$\tau_{12}$, это означает, что элемент 1 находится в своем высокочастотном состоянии (разомкнутая катушка индуктивности и закороченный конденсатор), в то время как вы смотрите на сопротивление, предлагаемое выводами элемента 2.$\tau_{123}$означает, что 1 и 2 находятся в высокочастотном состоянии, пока вы смотрите на сопротивление, предлагаемое выводами 3.

С нулями немного сложнее. Вы выполняете аналогичные операции, пока ответ обнуляется. Обнуленный отклик на источнике тока аналогичен замене источника тока на короткое замыкание. Итак, замкнем источник тока и повторим те же операции, что и для естественных постоянных времени.

Результирующие выражения вычисляются на листе Mathcad ниже. Как видите, никаких уравнений, просто просмотр небольших рисунков. Если вы ошибетесь в конце, вы просто исправите провинившийся рисунок и подкорректируете соответствующие постоянные времени. При брут-форс-анализе, когда вы замечаете ошибку, вы кричите, ругаетесь (да!) и швыряете черновик на стену :)

Затем упражнение состоит в перекомпоновке необработанной передаточной функции, которая, кстати, уже представлена ​​в нормализованной форме: это еще одна сильная сторона ФАКТОВ. Я аппроксимировал знаменатель 3-го порядка как произведение низкочастотного полюса и высокочастотного двойного полюса. Другая факторизация в числителе приводит к нулю со старшим членом. Сравнение полюса и нуля показывает, что они очень близки и, таким образом, компенсируют друг друга: они исчезают из уравнения. Выполните еще одну факторизацию, и вы получите низкоэнтропийное выражение входного импеданса:

$Z_{in}(s)=H_{peak}\frac{1}{1+\frac{\omega_0Q}{s}+\frac{sQ}{\omega_0}}$

Ведущий термин$H_{peak}$несет единицу$\Omega$и это то, что вы хотите. Я получил следующее выражение:

Как видите, оба выражения приводят к одному и тому же ответу. Тем не менее, выражение, которое вы предоставили, является очень компактной версией, и респект его автору!

Полная картина здесь:

Сюжет приведен здесь. Они сравнивают выражение грубой силы с выражением, полученным с помощью FACT, и окончательной факторизованной версией. Все они прекрасно согласуются. Моделирование SPICE с большим количеством точек на декаду (10000) подтверждает точное значение пиков, рассчитанное Mathcad.

Это типичный пример, когда ФАКТЫ являются самым простым и быстрым инструментом, который только можно придумать. Разрыв цепи в последовательности простых рисунков, которые вы проверяете, а не решение с помощью уравнений, является огромным преимуществом по сравнению с другими методами. Наконец, требуется некоторый навык, чтобы правильно перестроить окончательное выражение и раскрыть ведущий термин, но нет ничего непреодолимого. Да здравствуют ФАКТЫ!