При каком угле наклона бегун быстрее велосипедиста?

Мы можем по крайней мере рассчитать угол, при котором велосипед больше не может двигаться. Чтобы поддерживать любую неотрицательную вертикальную скорость, выходная сила, усредненная по расстоянию, приложенная велосипедистом к земле через заднее колесо, должна равняться силе тяжести вниз по наклонной плоскости:

$\bar F_\text{out} = g(m_\text{man}+m_\text{bike})\sin(\theta)$

Позволять$D$быть в два раза больше длины кривошипа педали велосипеда, то есть в два раза больше расстояния от педали до центра передней шестерни.

Позволять$L$- минимальное перемещение колеса по склону за пол-оборота кривошипа

$L = \frac{\pi}{2} \times \text {(Wheel diameter) (number of front teeth) / (number of rear teeth)}$

Отношение выходной силы к входной силе для велосипеда равно$R = \frac {\pi D}{2L} = F_\text{out}/F_\text{in}$

Итак, в точке, где$\bar F_\text{in} = \frac{g}{R}(m_\text{man}+m_\text{bike})\sin(\theta)$превышает максимальное усилие, которое спортсмен может приложить к педали без падения (или прыжка), велосипедист больше не может двигаться вперед. Это должно быть меньше, чем$gm_\text{man}$, иначе велосипедист спрыгнет.$^1$

$\theta_\text{max} \lt \arcsin\left(\frac{Rm_\text{man}}{m_\text{man}+m_\text{bike}}\right)$

Для человека массой 70 кг и велосипеда массой 10 кг при минимальном$L$из$25\pi$см и$D$из$34$см давая$R = 0.68$, что дает

$\theta_\text{max} \lt 37 ^\circ$

Это значительно более высокий уклон, чем я считаю возможным подняться на велосипеде, что, вероятно, отражает тот факт, что балансировать всем своим весом на одной движущейся педали медленно движущегося велосипеда, просто чтобы не скатиться вниз по склону, гораздо сложнее, чем просто встал и пошел. (Не говоря уже о том, что он медленнее и может повредить цепь или кривошип.)

Учитывая Супермена и специально разработанный неразрушимый велосипед, можно было достичь любого угла, поскольку спортсмен мог бы, гипотетически, подтянуть велосипед, чтобы противодействовать давлению на педали и значительно превысить собственный вес в тяге. Однако такой спортсмен лучше подходит для прыжка с холма одним прыжком.

1: Я предположил, что у велосипедиста (за исключением Супермена и его супербайка) нет хорошего способа подъехать к велосипеду в нормальной позе для езды на велосипеде. Можно приложить большее усилие к кривошипу, подтянув вверх противоположную ногу, если спортсмен прижат к педалям. Это переключило бы проблему с вопроса о максимальной силе на вопрос о максимальном поперечном крутящем моменте, который можно приложить, не переворачивая велосипед, что, в свою очередь, является вопросом о том, насколько хорошо и насколько далеко спортсмен может чередовать наклоны назад и вперед для уравновешивания. . Я думаю, что это ставит вопрос вне досягаемости подхода первых принципов.

Типичная гоночная велосипедная шина имеет окружность чуть более 2 метров. Действительно низкая передача имеет передаточное число 1, что означает, что один оборот педалей поворачивает заднее колесо только 1 раз. Таким образом, это будет означать, что если вы переместите правую ногу из положения 12 часов в положение 6 часов и поднимете ее обратно в положение 12 часов, велосипед переместится на 2 метра вперед. Так что это будет эквивалентно двум полным шагам в беге.

Если вы бежите вверх по крутому холму, я не думаю, что вы сможете продвинуться на 1 метр вперед за один полный шаг. Причина в том, что с крутизной ваш шаг становится короче. На равнине вы легко можете делать шаги длиннее 1 метра, но не в гору.

Особенность гоночных велосипедов с правильными педалями заключается в том, что у вас есть мощность как при движении вниз, так и при движении вверх. На самом деле у хорошего гонщика есть мощность на полные 360 градусов по кругу. Это было очень важной частью моих тренировок, когда я участвовал в гонках. Но у бегуна есть сила только при движении вниз; ход вверх - это пустая трата времени и усилий.

Так что, если предположить, что шины на земле не проскальзывают, я не вижу ни одной точки, в которой было бы быстрее бежать. Тем не менее, я знаю, что в гонках по бездорожью проскальзывание в грязи является серьезной проблемой, поэтому они часто спешиваются и бегут (или, что более вероятно, идут) в гору.

Так что с чисто физической точки зрения я думаю, что езда на велосипеде всегда была бы быстрее.

Тем не менее, я думаю, что если бы вы смотрели на гонки по равнине, и если бы гонка была очень короткой, скажем, 10 метров, то бег, вероятно, был бы быстрее, чем езда на велосипеде, потому что ускорение было бы намного медленнее для велосипедиста, в то время как бегун может взорваться. более 1 метра за шаг очень быстро.

Во избежание недоразумений: несмотря на то, что этот пост заканчивается цифрой, я всего лишь пытаюсь установить базовую линию на обратной стороне конверта. Все конкретные числа являются догадками или удобными числами (эй, 0,1 м/с!), конкретные биомеханические допущения смехотворны и т. д., но я убежден, что изложил суть проблемы на тот случай, если кто-то захочет конкретизировать ее с помощью надлежащие данные.

Чтобы получить угол в вопросе, мы должны сначала констатировать очевидное: скорость (в устойчивом равновесии, без соображений инерции) не может превышать состояние, когда максимальная мощность (энергия/время), генерируемая бегущим или ездящим на велосипеде человеком, равна приросту потенциала. энергии плюс потери на трение (внутри, в мышцах и т. д., а также снаружи из-за сопротивления воздуха и трения велосипедных подшипников и контакта с землей). Более высокие скорости всегда увеличивают трение и скорость роста потенциальной энергии; в какой-то момент не остается сил для увеличения скорости.

Из этих первых принципов нет никакой пользы ни для езды на велосипеде, ни для бега; оба работают в рамках этого ограничения. Вы не можете победить физику.

Оставшаяся часть ответа — это больше инженерия, чем чистая физика.

Сначала нам нужно понять, почему велосипед на ровной местности может двигаться быстрее, чем бегун, даже если они работают в тех же физических условиях. Я думаю, что ограничивающим фактором для бегуна являются движения ног вперед и назад. Ноги эволюционировали, чтобы эффективно работать при нормальной ходьбе и устойчивой скорости бега, когда сила тяжести может помочь в части двигательного цикла. Однако для высокоскоростного бега гравитация слишком медленна. Ноги должны двигаться вперед и назад быстрее, чем они могли бы упасть, и бегун должен использовать мышечную силу, чтобы преодолеть инерцию ног и все более активно ускорять их. В то время как кинетическая энергия не накапливается (ноги проходят один и тот же цикл снова и снова), мышцы создают сильное трение, что видно по поту, который нам нужен для рассеивания выделяемого тепла.

Мы можем получить порядок величины для этого с помощью расчетов на оборотной стороне конверта. Предположим, что нога имеет массу 20 кг, а бегун движется со скоростью 36 км/ч или 10 м/с. Это скорость их ног относительно тела, когда они стоят на земле. Центр масс ноги, для простоты предполагаемый наполовину поднятым, будет двигаться со скоростью 5 м/с. Эта скорость должна быть достигнута в течение четверти цикла (на полпути движения вперед и назад). При шаге 1,5 м частота цикла, состоящего из двух шагов, будет$\frac{10m/s}{2*1.5m} = 3 \frac{1}{3} Hz$; период$T=0.3s$. Нога должна ускоряться в четверть этого (первая половина полушага) 0,075 с. Следовательно, его ускорение равно$\frac{5m/s}{0.075s} \approx 67m/s^2$. Результирующая сила, действующая на ногу,${67m/s^2} * 20kg = 1333N$, что эквивалентно 140 кг. (Звучит многовато — я сделал ошибку в расчете или оценке? Но, возможно, вместе с биомеханическими преимуществами, такими как эластичность, цикличность движений и т. д., это реалистично.)

Нижняя граница:

Быстрый бег требует большой мышечной работы только для того, чтобы разогнать ноги, которые теряют много энергии на тепло.

Ограничивающим фактором при беге является механика наших ног и мышц, которые ограничивают скорость, с которой мы можем двигать ногами вперед и назад.

При езде на велосипеде это ограничение обходится с помощью передач: мы можем переключаться на более высокие передачи до тех пор, пока сопротивление ветра не станет настолько большим, что мы не сможем использовать больше силы ног, чтобы преодолеть его, и в этот момент мы можем ехать быстрее только за счет более быстрого вращения педалей, так что мы «врезаемся» в та же проблема, что и у бегуна.

В качестве иллюстрации представьте себе езду по равнине на низкой передаче, которая требует вращения педалей с той же частотой, с которой бегун двигает ногами, скажем, один полный цикл/3 м. Я бы предположил, что трудно двигать ногами быстрее, чем 3 Гц, как для бегуна (Усэйн Болт разогнался до 44 км/ч), так и для велосипедиста, крутящего педали как сумасшедший почти без сопротивления.

Теперь, когда мы бежим или едем в гору, устойчивая скорость подъема будет настолько низкой, что частота движений ног больше не будет ограничивающим фактором. Все сведется к выигрышу в потенциальной энергии. И здесь у велосипедиста есть недостаток размером со слона в комнате: велосипед ;-).

Я бы предположил, что с правильной экипировкой всадник будет иметь скорость, подобную скорости бегуна, несущего велосипед, — почему бы и нет. Механика велосипеда и сопротивление качению требуют немного избыточной энергии, но я бы предположил, что циклическое педалирование вызывает меньшее мышечное трение, чем ходьба, которая, по сути, двигает ноги «пустыми» в половине случаев. Профессиональные педали, напротив, имеют защелкивающие механизмы для обуви, так что водитель может тянуть во время подъема цикла педалирования, тем самым сводя к минимуму мертвое движение. Это должно компенсировать механические потери тепла, но, вероятно, не подъем самого велосипеда.

С учетом этих соображений мы теперь можем оценить скорость, при которой преимущество велосипедиста над бегуном должно уменьшаться: когда движение ноги становится достаточно медленным, чтобы для его ускорения не требовалось значительных мышечных усилий. Это должно быть примерно в то время, когда необходимое ускорение близко к земному g , если наше предположение гласит, что нормальное движение ног эволюционировало, чтобы использовать силу гравитации, чтобы раскачивать их вперед и назад, когда они не нагружены.

В качестве оценки мы сказали, что шаг равен 1,5 м. На этом расстоянии нога ускоряется до тех пор, пока не коснется пола, где она имеет относительную скорость бегуна, прежде чем она поднимается и снова замедляется, пока бегун находится в воздухе. Предположим, что фактическое ускорение под действием силы тяжести составляет примерно 1/2 g, потому что нога движется не вертикально, а следует некоторой кривой, по которой мы можем вычислить время t, необходимое ей для перемещения из верхнего положения на землю из

$s = 1/2 a t^2$

которое мы решаем для t:

$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$

Если мы предположим$a = 5 m/s^2$и$s = 0.75 m$у нас есть$t = \sqrt{\frac{1.5m}{5m/s^2}} = \sqrt{0.3s^2} = 0.54s$. Поскольку это четверть всего цикла, период Т составляет около 2 с, а частота — около 1/2 Гц ¹ . Каждый полный цикл, два шага, перемещает бегуна на 3 м, так что мы получаем скорость 3 м/2 с, или 1,5 м/с, или 5,4 км/ч, то есть очень быструю скорость ходьбы.

Давайте вспомним, что мы думаем, что недостатком бегуна является ускорение ног сверх силы тяжести, и давайте предположим, что у велосипедиста всегда есть идеальное снаряжение, так что его преимущество состоит в том, что ему не нужно выполнять какую-либо работу по ускорению на ногах.

Тогда точка безубыточности для бегуна наступит, когда угол подъема будет настолько крутым, что при «естественной» скорости бега с помощью силы тяжести 1,5 м/с вся работа преобразуется в потенциальную энергию за счет набора высоты (и ни одна из них не будет потеряна для ног) . ускорение).

У велосипедиста под таким углом не осталось бы никакого преимущества, потому что он тоже не мог бы ехать быстрее, потому что физика (и биология).

Мы рассчитаем набор высоты/с для умеренной устойчивой выходной мощности человека в 100 Вт , а затем посмотрим, какому углу это соответствует при указанных выше 1,5 м/с.

Кстати, я вешу около 1000Н. Таким образом, при постоянной выходной мощности 100 Вт (или 100 Нм/с) я могу подняться со скоростью 0,1 м/с (вам просто нужно любить единицы СИ). Это будет 100 м за 1000 секунд или 20 минут или около того ( кажется правильным . Это должна быть скорость подъема, при которой разница между велосипедистом и бегуном отличается только из-за веса велосипеда, что делает велосипедиста примерно на 10 % медленнее.

Если мы посмотрим на треугольник на вашей диаграмме и нарисуем треугольник склона, покрываемого со скоростью 1,5 м/с (гипотенуза 1,5 м) и максимальное устойчивое увеличение высоты в секунду (вертикальная сторона 0,1 м), мы получим наклон 6,6%.

Несмотря на то, что предположения о механике ног были грубыми, а кинетика ног ужасно упрощена, результат не совсем неправдоподобен для среднего тяжелого человека, такого как я. Для человека с меньшей массой и более высокой выходной мощностью наклон может быть в два или три раза круче, например, на Тур де Франс.

_{¹ Мы получаем аналогичное приближение, рассматривая ногу как маятник с центром масс в колене, приблизительно L=50 см от тазобедренного сустава. При силе тяжести Земли g период T маятника с малой амплитудой равен$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{9.81}} \approx 2\pi*0.22 \approx 1.35s.$ Калькуляторы маятника , которые корректируют большие амплитуды, дают около 1,5 с для углов 60 ° от вертикали. В любом случае, это примерно то же, что и расчет в тексте, хотя и то, и другое грубо. Более короткий период указывал бы на более быструю точку безубыточности велосипедиста.}

Вы не можете найти формулу для этого, потому что это зависит от десятков индивидуальных свойств.

Например, опытный велосипедист получит больше пользы от велосипеда, поэтому он захочет использовать велосипед под более высоким углом.

В дождь формула меняется. В темноте формула меняется. Так далее и так далее.

В качестве интересного пограничного случая стоит отметить, что передаточные числа, которые вы можете выбрать, ограничены. Вы можете застрять на велосипеде, используя мышцы ног неэффективным образом. Во время бега вы всегда можете делать более короткие шаги. Под некоторым углом я перестаю двигаться вперед на своем велосипеде на самой низкой передаче, и, таким образом, легко доказать, что в этот момент бег идет быстрее!