Приближение дальнего поля в эксперименте Юнга с двумя щелями

Я изучаю кое-что, связанное с экспериментом Юнга с двумя щелями, и пытаюсь понять его выводы. Часть, которая мне не ясна, - это приближение дальнего поля. То есть я понимаю, что это значит, но не могу получить то же уравнение, что и в учебнике.

Мы начинаем с волны длины волны λ "=" 2 π к попадание на пластину с двумя отверстиями. Каждое отверстие или щель действует как источник длины волны. λ .

Результирующая волна в точке с расстояниями р 1 , р 2 из щелей есть е я ( к р 1 − ю т ) р 1 + е я ( к р 2 − ю т ) р 2

Приближение дальнего поля, которое мы делаем, р 1 , р 2 ≫ г , где г это расстояние между щелями.

Выражение для результирующей волны должно быть 2 е я ( к р − ю т ) р потому что ⁡ ( к г 2 θ ) , где р "=" р 1 + р 2 2 и θ - малый угол отклонения от нормали к экрану, на котором расположены щели.

Именно последнее выражение я и хотел бы получить. Любые советы или подсказки (предпочтительно) приветствуются.

Ответы (2)

Вы просили подсказку... выразить свои уравнения как р 1 "=" р + дельта и р 2 "=" р − дельта ; то обратите внимание, что член интенсивности ( 1 / р 1 и 1 / р 2 ) будет в основном одинаковым для обоих (замените, как указано выше, и дельта срок исчезнет), и все встанет на свои места. Возможно, вам придется напомнить, что е я ф "=" потому что ⁡ ф + я грех ⁡ ф

Я оставлю это в качестве упражнения, чтобы увидеть, как дельта имеет отношение к г , λ и θ ... как отмечает Эмилио Писанти в комментарии, вам, возможно, придется помнить, что для небольших θ , θ ≈ грех ⁡ θ ≈ загар ⁡ θ .

Возможно, стоит отметить, что строгое геометрическое соотношение между г , λ и θ не даст результата, указанного в вопросе. Помимо геометрии, необходимо учитывать взаимосвязь между грех ⁡ ( θ ) , загар ⁡ ( θ ) , и θ когда последний мал.
Спасибо. Что дельта срок? Это какая-то сколь угодно малая величина?
@MadPhysicist - это не сколь угодно мало - если вы нарисуете диаграмму лучей от двух отверстий, достигающих экрана, вы увидите, что по мере увеличения расстояния до экрана два луча будут становиться «все более и более параллельными»; тогда разница в расстоянии до экрана следует из простой геометрии.
Хорошо. Я понимаю. Это разница в длине пройденных путей.
Я ценю вашу помощь! Я опубликовал свой собственный ответ, основанный на предложениях, которые вы дали. В качестве последнего бита вообще фигурирует ли длина волны в выводе? Есть ли здесь какие-то предельные случаи или интуиция?
длина волны «прячется» в к , конечно, но на самом деле это не дает никакой полезной интуиции (кроме того, что вы предполагаете, что угол мал, поэтому к г должен быть маленьким, поэтому λ ≪ г

Я отвечаю на свой вопрос с помощью @Emilio Pisanty и @Floris. Очень признателен!

Вот оно.

Рассмотрим разность путей, пройденных волной, испущенной из щели 1, и волной, испущенной из щели 2. Назовем их р 1 и р 2 . Разница в том, 2 дельта "=" р 1 − р 2 . Затем, р 1 "=" р + дельта и р 2 "=" р − дельта . То есть, р - среднее между р 1 и р 2 .

Кроме того, рассмотрим условия интенсивности 1 р 1 "=" 1 р + дельта и 1 р 2 "=" 1 р − дельта . Как р 1 , р 2 >> г , два луча становятся все более и более параллельными. То есть разница между ними становится все меньше и меньше. С дельта "=" г грех ⁡ θ , где θ → 0 , у нас есть дельта → 0 . Интенсивности одинаковы для всех практических целей в приближении дальнего поля. Это интуитивно понятно.

Рассмотрим исходное выражение:

е я ( к р 1 − ю т ) р 1 + е я ( к р 2 − ю т ) р 2 "=" е я ( к р + к дельта − ю т ) р + е я ( к р − к дельта − ю т ) р "=" е я ( к р − ю т ) р ( е я к дельта − е − я к дельта ) "=" 2 е я ( к р − ю т ) р потому что ⁡ к дельта

С дельта "=" ( грех ⁡ θ ) г 2 и грех ⁡ θ → θ как θ → 0 , получаем окончательные выражения:

2 е я ( к р − ю т ) р потому что ⁡ ( к г 2 θ )

Я рад, что вы смогли получить вывод с «небольшой помощью ваших друзей». Отличная работа.
Приближение дальнего поля в эксперименте Юнга с двумя щелями
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v