Причинность и античастицы

Это следствие того, что не существует положительной частотной функции, равной нулю вне светового конуса. Если у вас есть частица в теории относительности, ее динамика требует, чтобы она двигалась быстрее света, а чтобы восстановить причинно-следственную связь, она должна вернуться во времени. Это объясняется в моем ответе здесь: движется ли антивещество назад во времени? .

Если у вас есть квантовая частица с положительной энергией, функция распространения$G(x-y)$- амплитуда перехода от x к y. Это распространение называется причинным, если пропагатор равен нулю, если только x не относится к будущему y, так что при пространственно-временной декомпозиции$G(t,r)$равен нулю при t<0. В этом случае преобразование Фурье$G(\omega,k)$не может исчезнуть навсегда$\omega<0$, потому что невозможно, чтобы ненулевая функция и ее преобразование Фурье были равны нулю в полуплоскости.

Чтобы убедиться в этом, условие исчезновения$G(t,r)$при t<0 влечет аналитичность преобразования Фурье для$\omega$с отрицательной мнимой частью, так как в этой области преобразование Фурье группы G становится суммой убывающих экспонент. Аналитическая функция не может быть нулевой в какой-либо области, не будучи равной нулю везде, поэтому преобразование Фурье будущей направленной функции не является строго положительной энергией.

Из-за этого не существует релятивистского формализма частиц, в котором частицы имеют как положительную энергию, так и причинное распространение. Вы можете иметь дело либо с полями, и в этом случае понятие частицы не является локальным, либо вы можете иметь дело с частицами, но тогда они возвращаются во времени.

Формализм «назад во времени» использует стандартный некаузальный пропагатор Фейнмана, который

$$G(\omega,k) = {i\over \omega^2 - k^2 - m^2 - i\epsilon}$$

вплоть до модификаций числителя для более высокого спина, с$i\epsilon$полюсный рецепт. Это имеет два полюса в$\omega$для любого$k$, а рецепт полюса подталкивает один полюс к слегка положительной мнимой части, а другой полюс к слегка отрицательной мнимой части. Есть особенности в обоих направлениях в воображаемом$\omega$направление, что означает, что распространение не является причинным.

Часть, которая идет вперед во времени, является частью положительной энергии; часть, которая уходит в прошлое, является отрицательной энергетической частью.

В основном это проблема сложного поля Клейна-Гордона (например, такого требования нет для поля Дирака). Это проще всего показать с помощью самораспространяющегося сложного поля Клейна-Гордона с использованием плоских волн в направлении x:

Уравнение Клейна-Гордона.

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} ~~=~~ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} - m^2 \right)~\psi$

Прямой генератор временной эволюции был бы.

$\frac{\partial \psi}{\partial t} ~~=~~\pm i \sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + m^2}~\psi$

Со знаком (-) для частиц и знаком (+) для античастиц. Однако этот генератор не является локальным , так как ему соответствует бесконечный ряд производных. На самом деле это эквивалент свертки с K-функцией Бесселя.

$\frac{\partial \psi}{\partial t} ~~=~~\pm i \sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + m^2}~\psi ~~=~~ \frac{m}{x}K_1(mx)~*~\psi$

источник: википедия

Это означает мгновенное распространение, поскольку$\partial\psi/\partial t$зависит от нелокальных значений$\psi$. Затем эта задача входит в общий оператор временной эволюции для произвольного$t$.

$\psi(t) ~~=~~ \exp\left\{ \pm i \sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + m^2}\right\}~\psi$

Однако теперь начинается хитрость:

Сумма пропагаторов частиц и античастиц локальна (внутри светового конуса).

$\psi(t) ~~=~~ \frac12\Big(\exp\left\{ + i ...\right\} +\exp\left\{ - i ...\right\}\Big)\psi ~~=~~ \cos\left\{ \sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + m^2}\right\}~\psi$

поскольку разложение косинуса в ряд Тейлора содержит только четные степени аргумента, оператора квадратного корня больше нет.

Надо сказать, что часть вне светового конуса изначально мала, порядка комптоновского радиуса частицы. Но он также сжимается дальше по мере распространения. Для электрона это примерно$10^{-13}m$в начале распространения, а только$10^{-20}m$после светового микрона (время, за которое свет распространяется 1$\mu m$). Он линейно сжимается со временем.

Эта проблема не возникает для оператора временной эволюции правильного уравнения для электрона: уравнения Дирака. Это уравнение является линейным и$\partial\psi/\partial t$не содержит приведенный выше квадратный корень.

Ганс.