Проблема бесконечности: почему гравитация g=0g=0g=0 равна нулю в центре Земли, если согласно формуле гравитации Ньютона g=GM/R2g=GM/R2g=GM/R^2? [дубликат]

Почему g=G∗M/R2 не работает

Есть два региона для рассмотрения; область вне Земли и область внутри.

Решение внутри (ненулевая массовая плотность) и решение снаружи (нулевая массовая плотность) различны, но должны давать одинаковое значение на радиусе поверхности.

Предполагая однородную плотность массы внутри, гравитационное ускорение внутри пропорционально радиусу и, таким образом, стремится к нулю в центре.

Кредит изображения

Чтобы расширить ответ @Alfred,

Гравитационное притяжение Земли, когда вы копаетесь в ней, обусловлено только массой Земли, заключенной в сферу, определяемую радиусом, на котором вы находитесь (доказательство этого см. в выводе теоремы Гаусса). Следовательно, по мере того, как вы спускаетесь вглубь Земли, количество массы, притягивающей вас к центру, уменьшается, и форма уравнения, которое вы привели, меняется.

вне Земли (такой, что$R > R_E$), как вы сказали, гравитационное ускорение (классически),

$$g = \frac{G M}{R^2}$$

Но как только вы войдете в землю (в таком радиусе, что$R < R_E$), масса, гравитационно притягивающая вас, уменьшается в соответствии с соотношением объема сферы внутри вашего радиуса и сферы внутри радиуса Земли$^1$.

$$M(R) = M \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi R_E^3}$$ $$M(R) = M \left(\frac{R}{R_E}\right)^3$$

Подставляя это в уравнение выше, мы находим, что ускорение для$R < R_E$является

$$g = \frac{G}{R^2} M \left(\frac{R}{R_E}\right)^3$$

Упрощение дает нам

$$g = \frac{G M}{R_E^3} R$$

Поскольку первая часть этого члена является константой, мы можем сказать$\alpha = \frac{G M}{R_E^3}$, и

$$g = \alpha R$$

Это простое линейное уравнение (см. линейную часть графика в ответе @Alfred), которое стремится к нулю, а не к бесконечности, поскольку$R$уходит в ноль.

$^1$*Обратите внимание, что это упрощение, основанное на том, что Земля имеет одинаковую плотность. Это определенно не так, но поскольку количество массы внутри меньшего радиуса все равно меньше, это хорошо послужит нашей цели определения предельного поведения гравитационного ускорения, когда R стремится к нулю.*