Почему гравитация Земли сильнее на полюсах?

Дело в том, что если мы аппроксимируем Землю сплюснутым эллипсоидом, то поверхность Земли представляет собой эквипотенциальную поверхность ,$^1$см., например , этот пост Phys.SE.

Теперь, поскольку полярный радиус меньше экваториального радиуса, плотность эквипотенциальных поверхностей на полюсах должна быть больше, чем на экваторе.

Или, что то же самое, напряженность поля$^2$ $g$на полюсах должно быть больше, чем на экваторе.

--

$^1$Обратите внимание, что потенциал здесь относится к совместному действию гравитационной и центробежной сил. Если мы нальем немного воды на эквипотенциальную поверхность, предпочтительного направления потока не будет.

$^2$Точно так же напряженность поля, известная как маленькая $g$, относится к совместному действию гравитационных и центробежных сил, даже если$g$часто (небрежно и несколько вводя в заблуждение) называют гравитационной постоянной на поверхности Земли.

Во многих местах утверждается, что гравитация Земли сильнее на полюсах, чем на экваторе, по двум причинам:

1. Центробежная сила минимально уравновешивает гравитацию, в большей степени на экваторе, чем на полюсах.
2. Полюса ближе к центру из-за экваториальной выпуклости и, следовательно, имеют более сильное гравитационное поле.

Версия TL;DR: есть три причины. По порядку величины

1. Полюса ближе к центру Земли из-за экваториальной выпуклости. Это усиливает гравитацию на полюсах и ослабляет ее на экваторе.

2. Экваториальная выпуклость изменяет тяготение Земли. Это ослабляет гравитацию на полюсах и усиливает ее на экваторе.

3. Земля вращается, поэтому земной наблюдатель видит центробежную силу. Это не действует на полюсах и ослабляет гравитацию на экваторе.

Давайте посмотрим, как два объяснения в вопросе соотносятся с наблюдением. В следующей таблице сравнивается то, что сферическая гравитационная модель за вычетом центробежного ускорения предсказывает для гравитационного ускорения на уровне моря на экваторе ($g_{\text{eq}}$) и северный полюс ($g_{\text{p}}$) по сравнению со значениями, рассчитанными с использованием хорошо зарекомендовавшей себя гравитационной формулы Сомильяна$g = g_{\text{eq}}(1+\kappa \sin^2\lambda)/\sqrt{1-e^2\sin^2 \lambda}$.

$\begin{matrix} \text{Quantity} & GM/r^2 & r\omega^2 & \text{Total} & \text{Somigliana} & \text{Error} \\ g_\text{eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_\text{p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \phantom{-}0.03213 \\ g_\text{p} - g_\text{eq} & 0.06604 & \phantom{-}0.03392 & 0.09995 & 0.05186 & \phantom{-}0.04809 \end{matrix}$

Эта простая модель работает в качественном смысле. Это показывает, что гравитация на северном полюсе выше, чем на экваторе. Количественно эта простая модель не очень хороша. Он значительно завышает разницу между гравитацией на северном полюсе и на экваторе, почти в два раза.

Проблема в том, что эта простая модель не учитывает гравитационное влияние экваториальной выпуклости. Простой способ думать об этой выпуклости состоит в том, что она добавляет положительную массу на экваторе, но добавляет отрицательную массу на полюсах, что означает нулевое чистое изменение массы. Отрицательная масса на полюсе уменьшит гравитацию вблизи полюса, а положительная масса на экваторе увеличит экваториальную гравитацию. Это именно то, что доктор прописал.

Математически это перемещение масс создает квадрупольный момент в гравитационном поле Земли. Не вдаваясь в подробности сферических гармоник, это добавляет член, равный$3 J_2 \frac {GMa^2}{r^4}\left(\frac 3 2 \cos^2 \lambda - 1\right)$гравитационной силе, где$\lambda$- геоцентрическая широта и$J_2$является второй динамической формой Земли. Добавление этого квадрупольного члена к приведенной выше таблице дает следующее:

$\begin{matrix} \text{Quantity} & GM/r^2 & r\omega^2 & J_2\,\text{term} & \text{Total} & \text{Somigliana} & \text{Error} \\ g_\text{eq} & 9.79828 & -0.03392 & \phantom{-}0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_\text{p} & 9.86431 & 0 & -0.03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_\text{p} - g_\text{eq} & 0.06604 & \phantom{-}0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \end{matrix}$

Это простое добавление квадруполя теперь дает очень хорошее совпадение.

Цифры, которые я использовал выше:

• $\mu_E = 398600.0982\,\text{km}^3/\text{s}^2$, гравитационный параметр Земли за вычетом вклада атмосферы.

• $R_\text{eq} = 6378.13672\,\text{km}$, экваториальный радиус Земли (среднее значение прилива).

• $1/f = 298.25231$, сплющивание Земли (среднее значение прилива).

• $\omega = 7.292115855 \times 10^{-5}\,\text{rad}/\text{s}$, скорость вращения Земли.

• $J_2 = 0.0010826359$, второй динамический форм-фактор Земли.

• $g_{\text{eq}} = 9.7803267714\,\text{m}/\text{s}^2$, гравитация на уровне моря на экваторе.

• $\kappa = 0.00193185138639$, что отражает наблюдаемую разницу между гравитацией на экваторе и на полюсах.

• $e^2 = 0.00669437999013$, квадрат эксцентриситета фигуры Земли.

Эти значения в основном взяты из Гротена, «Фундаментальные параметры и текущие (2004 г.) наилучшие оценки параметров, имеющих общее значение для астрономии, геодезии и геодинамики». Journal of Geodesy , 77:10-11 724-797 (2004) со стандартным гравитационным параметром, модифицированным для исключения массы атмосферы. Земная атмосфера оказывает гравитационное воздействие на Луну и спутники, но не столько на людей, стоящих на поверхности Земли.

Вот простой аргумент, который не требует каких-либо знаний о таких причудливых вещах, как эквипотенциалы или вращающиеся системы отсчета. Представьте, что мы могли бы постепенно вращать землю все быстрее и быстрее. В конце концов он разлетится. В тот момент, когда он начнет разлетаться, произойдет то, что части Земли на экваторе будут двигаться с орбитальной скоростью. Когда вы находитесь на орбите, вы ощущаете кажущуюся невесомость, как астронавты на космической станции.

Итак, в точке на экваторе кажущееся ускорение свободного падения$g$(т. е. то, что вы измеряете в лаборатории, прикрепленной к поверхности Земли) падает до нуля, когда Земля вращается достаточно быстро. Путем интерполяции мы ожидаем, что эффект фактического вращения должен уменьшиться.$g$на экваторе относительно значения, которое оно имело бы, если бы Земля не вращалась.

Обратите внимание, что этот аргумент автоматически учитывает отклонение Земли от сферичности. Сплюснутая форма — это всего лишь часть интерполяции между сферичностью и дроблением.

На полюсах все иначе. Как бы быстро вы ни вращали землю, часть земли на северном полюсе никогда не окажется на орбите. Значение$g$изменится из-за изменения формы Земли, но это влияние должно быть относительно слабым, потому что оно никогда не может привести к распаду.

Разница в ускорении свободного падения между полюсами и экватором обусловлена ​​двумя факторами. Я буду обсуждать их один за другим.

На полюсах измеренное гравитационное ускорение равно 9,8322.$m/s^2$
На экваторе измеренное гравитационное ускорение равно 9,7805.$m/s^2$

Зная экваториальный радиус Земли и скорость вращения Земли, вы можете рассчитать, какое центростремительное ускорение требуется для совместного вращения с Землей, когда вы находитесь на экваторе. Получается 0,0339$m/s^2$

Это требуемое центростремительное ускорение (на экваторе) идет за счет истинного гравитационного ускорения на экваторе.

Таким образом, мы можем реконструировать, каким было бы экваториальное гравитационное ускорение на небесном теле с такими же размерами, плотностью и экваториальной выпуклостью, как у Земли, но не вращающемся.

Истинное гравитационное ускорение: 9,7805 + 0,0339 = 9,8144.$m/s^2$

Так что разница все же 0,0178$m/s^2$

Это оставшееся различие связано с уплощением Земли: на экваторе вы дальше от центра гравитационного притяжения Земли, чем на полюсах.

Дело в том, что все последствия были учтены. Математика подытожит, что эффект большей массы под ногами все же меньше, чем эффект расстояния от центра масс.

Другой вид есть. На экваторе рядом с вами есть выпуклости. Но со всей другой стороны земли выпуклость далеко от вас. Сравните с полюсом, что все выпуклости одинаково далеки от вас, вот и считайте разницу