Проблема получения прямоугольных составляющих ускорения спутника на орбите вокруг Земли с учетом J2

Question

Проблема получения прямоугольных составляющих ускорения спутника на орбите вокруг Земли с учетом J2

арах

Я пытаюсь получить прямоугольные компоненты ускорения для спутника на орбите с учетом сжатия Земли, чтобы использовать метод RK4 для определения обновленного положения и скорости спутника. Я знаю, что уже есть уравнения , но я хочу знать, как они были получены. Однако мои решения не совсем похожи на эти уравнения - что более важно, мощность r в этих наборах уравнений и в уравнениях силы из Википедии не совпадают. Эти уравнения имеют $\frac{1}{r^7}$ , а у моего $\frac{1}{r^6}$

Я покажу, как я вывел уравнения, пожалуйста, дайте мне знать, если я сделал ошибку!

Я использую следующее уравнение, которое я взял из документа NASA Flight Test Cases и Fonte 1993 (реализация модели гравитационного поля 50x50):

U "=" - \frac{мю}{р} [1 + \sum_{н "=" 2}^{\infty} \sum_{м "=" 0}^{н} {(\frac{р_{е}}{р})}^{н} п_{н, м} (с я н ф) (С_{н, м} с о с (м λ) + С_{н, м} с я н (м λ))]

$U = -\frac{\mu }{r}\left [ 1+\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{m=0}^{n}\left(\frac{ R_{e}}{r}\right)^{n}P_{n,m}(sin\phi )\left(C_{n,m}cos(m\lambda) +S_{n,m}sin(m\lambda ) \right)\right]$

Я знал, что для зональных гармоник $m=0$ , поэтому уравнение выглядит так

U "=" - \frac{мю}{р} [1 + \sum_{н "=" 2}^{\infty} {(\frac{р_{е}}{р})}^{н} п_{н, 0} (с я н ф) (С_{н, 0} с о с (0))]

$U = -\frac{\mu }{r}\left[1+\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{R_{e}}{r}\right)^{n}P_{n,0}(sin\phi )(C_{n,0}cos(0) )\right]$

потом буду решать $n=2$ знаю это $C_{n,0}=J_{2}$

Под уравнением 10 есть раздел, посвященный отклонениям гравитационного поля Земли от поля однородной сферы на странице Geopotential Wiki, в котором говорится:

ты "=" \frac{{Дж}_{2} п_{2}^{0} (с я н θ)}{р^{3}} "=" {Дж}_{2} \frac{1}{р^{3}} \frac{1}{2} (3 с я н^{2} θ - 1) "=" {Дж}_{2} \frac{1}{р^{5}} \frac{1}{2} (3 г^{2} - р^{2})

$u=\frac{J_{2}P_{2}^{0}(sin\theta )}{r^3}=J_{2}\frac{1}{r^3}\frac{1}{2}(3sin^{2}\theta-1)=J_{2}\frac{1}{r^5}\frac{1}{2}(3z^{2}-r^{2})$

Так что я сделал вывод, что

п_{2, 0} "=" \frac{1}{р^{2}} \frac{1}{2} (3 г^{2} - р^{2})

$P_{2,0}=\frac{1}{r^2}\frac{1}{2}(3z^{2}-r^{2})$

Итак, уравнение выглядит так

U "=" - \frac{мю}{р} [1 + {(\frac{р_{е}}{р})}^{2} ({Дж}_{2}) (\frac{1}{р^{2}} \frac{1}{2} (3 г^{2} - р^{2}))]

$U = -\frac{\mu }{r}\left[1+\left(\frac{R_{e}}{r}\right)^{2}(J_{2} )\left(\frac{1}{r^2}\frac{1}{2}\left(3z^{2}-r^{2}\right)\right)\right]$

Затем я все перемножил и представил уравнение в таком виде.

U "=" - мю [\frac{1}{р} + \frac{3}{2} {Дж}_{2} р_{Е}^{2} г^{2} \frac{1}{р^{5}} - \frac{1}{2} {Дж}_{2} р_{Е}^{2} \frac{1}{р^{3}}]

$U = -\mu\left[\frac{1 }{r}+\frac{3}{2}J_{2}R_{E}^{2}z^{2}\frac{1 }{r^5}-\frac{1}{2}J_{2}R_{E}^{2}\frac{1 }{r^3}\right]$

Знаю это $F_{x} = -\frac{\partial U}{\partial x}$ , и используя $\frac{\partial }{\partial x}r^{-5}=\frac{\partial }{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-5}=-\frac{10x}{r^6}$ и т. д., а затем переставляя, я получил следующее для компонента x (и y):

Ф_{Икс} "=" - \frac{\partial U}{\partial Икс} "=" - \frac{мю Икс}{р^{2}} [2 + \frac{3 {Дж}_{2} р_{Е}^{2}}{р^{2}} (\frac{5 г^{2}}{р^{2}} - 1)]

$F_{x} = -\frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{\mu x}{r^2}\left[2+\frac{3J_{2}R_{E}^{2}}{r^2}\left(\frac{5z^{2}}{r^2}-1\right)\right]$

Что выглядит несколько знакомо этому , но это не совсем так. Я пытался сделать эту математику три раза и получил тот же ответ.

Примечание: я спросил OP об этой ветке, и он сказал, что получил эти уравнения из раздела 7A этого конкурса.

Может ли кто-нибудь сказать мне, что я делаю неправильно?

ооо

Похоже, вы почти у цели! Загляните в раздел о

J_{2}

$J_2$ в этом ответе , который исходит отсюда . Если это то, что вам нужно, вы можете сами ответить на свой вопрос и получить несколько очков репутации. Другим вариантом было бы назначить ваш вопрос дубликатом этого вопроса. Здесь дубликат означает, что на ваш вопрос есть ответ , а не на то, что вопросы идентичны. Добро пожаловать в космос!

арах

@uhoh Спасибо за ответ. Честно говоря, выражения J2 в этом ответе меня немного больше смутили. Например, откуда взялись члены x^2 и y^2 и где находится rE для этого уравнения? R соответствует величине -7 в этих уравнениях, а в моих уравнениях - только величине -6 (максимум). Член 3/2 из space.stackexchange.com/questions/24724/… кажется, соответствует 1,5 в этих уравнениях, но умножается на другие члены?

ооо

Хорошо, я посмотрю поближе прямо сейчас, я просто пью свой утренний кофе, и мне нужна минута, чтобы он заработал. Связанные уравнения работают (они воспроизводят апсидальную прецессию, имеют правильные единицы и т. д.), если нет опечатки .

R_{E}

$R_E$ стандартный радиус Земли, используемый вместе с продуктом

G M

$GM$ (также пишется как

μ

$\mu$ ) для получения безразмерной формы

J_{2}

$J_2$ .

арах

@uhoh Утренний кофе с двумя кусочками сахара и гармошкой сферических гармоник. Да, я совершенно уверен, что делаю что-то не так или что-то забываю сделать. Я просто новичок в этой области и хотел бы иметь возможность правильно вывести это уравнение, чтобы я знал, как позже делать члены более высокого порядка, или чтобы я мог разобрать другие уравнения на его компоненты xyz для интеграции. Теперь, когда вы упомянули безразмерную форму J2, может ли J2 в уравнениях, которые вы мне связали, иметь размеры? Вот почему эти уравнения выглядят иначе?

ооо

хорошо, я отправил ответ. Это то, что я могу сделать, но я думаю, что вы можете взять его оттуда! Я пока не могу гарантировать, что где-то нет ошибки со знаком минус, я попытаюсь проверить это позже в тот же день.

Ответы (1)

Проблема получения прямоугольных составляющих ускорения спутника на орбите вокруг Земли с учетом J2

Похоже, вы почти у цели! Загляните в раздел о $J_2$ в этом ответе , который исходит отсюда . Если это то, что вам нужно, вы можете сами ответить на свой вопрос и получить несколько очков репутации. Другим вариантом было бы назначить ваш вопрос дубликатом этого вопроса. Здесь дубликат означает, что на ваш вопрос есть ответ , а не на то, что вопросы идентичны. Добро пожаловать в космос!
@uhoh Спасибо за ответ. Честно говоря, выражения J2 в этом ответе меня немного больше смутили. Например, откуда взялись члены x^2 и y^2 и где находится rE для этого уравнения? R соответствует величине -7 в этих уравнениях, а в моих уравнениях - только величине -6 (максимум). Член 3/2 из space.stackexchange.com/questions/24724/… кажется, соответствует 1,5 в этих уравнениях, но умножается на другие члены?
Хорошо, я посмотрю поближе прямо сейчас, я просто пью свой утренний кофе, и мне нужна минута, чтобы он заработал. Связанные уравнения работают (они воспроизводят апсидальную прецессию, имеют правильные единицы и т. д.), если нет опечатки . $R_E$ стандартный радиус Земли, используемый вместе с продуктом $GM$ (также пишется как $\mu$ ) для получения безразмерной формы $J_2$ .
@uhoh Утренний кофе с двумя кусочками сахара и гармошкой сферических гармоник. Да, я совершенно уверен, что делаю что-то не так или что-то забываю сделать. Я просто новичок в этой области и хотел бы иметь возможность правильно вывести это уравнение, чтобы я знал, как позже делать члены более высокого порядка, или чтобы я мог разобрать другие уравнения на его компоненты xyz для интеграции. Теперь, когда вы упомянули безразмерную форму J2, может ли J2 в уравнениях, которые вы мне связали, иметь размеры? Вот почему эти уравнения выглядят иначе?
хорошо, я отправил ответ. Это то, что я могу сделать, но я думаю, что вы можете взять его оттуда! Я пока не могу гарантировать, что где-то нет ошибки со знаком минус, я попытаюсь проверить это позже в тот же день.

ооо · Answer 1

Начните с выражения ОП для гравитационного потенциала.

U "=" - мю [\frac{1}{р} + \frac{3}{2} {Дж}_{2} р_{Е}^{2} г^{2} \frac{1}{р^{5}} - \frac{1}{2} {Дж}_{2} р_{Е}^{2} \frac{1}{р^{3}}]

$U = -\mu\left[\frac{1 }{r}+\frac{3}{2}J_{2}R_{E}^{2}z^{2}\frac{1 }{r^5}-\frac{1}{2}J_{2}R_{E}^{2}\frac{1 }{r^3}\right]$

можно переписать как

U "=" - мю [\frac{1}{р} + \frac{1}{2} {Дж}_{2} р_{Е}^{2} (3 \frac{г^{2}}{р^{5}} - \frac{1}{р^{3}})]

$U = -\mu\left[\frac{1 }{r} + \frac{1}{2}J_{2}R_{E}^{2} \left(3\frac{z^2}{r^5}-\frac{1}{r^3}\right)\right]$

где $U$ — приведенный потенциал (потенциал тела массой $m$ затем $mU$ ) и использовать

а "=" \nabla U "=" \frac{\partial U}{\partial Икс} \hat{Икс} + \frac{\partial U}{\partial у} \hat{у} \frac{\partial U}{\partial г} \hat{г} "=" а_{Икс} \hat{Икс} + а_{у} \hat{у} + а_{г} \hat{г}

$\mathbf{a}=\nabla U = \frac{\partial U}{\partial x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{\partial U}{\partial y} \mathbf{\hat{y}} \frac{\partial U}{\partial z} \mathbf{\hat{z}} = a_x \mathbf{\hat{x}} + a_y \mathbf{\hat{y}} + a_z \mathbf{\hat{z}}$

чтобы получить ускорение. Я сделаю компонент x с небольшой помощью Wolfram alpha :

\frac{\partial}{\partial Икс} \frac{1}{р} "=" - \frac{Икс}{р^{3}},

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r} = -\frac{x}{r^3},$

\frac{\partial}{\partial Икс} \frac{г^{2}}{р^{5}} "=" - \frac{5 Икс г^{2}}{р^{7}},

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{z^2}{r^5} = -\frac{5xz^2}{r^7},$

\frac{\partial}{\partial Икс} \frac{1}{р^{3}} "=" - \frac{3 Икс}{р^{5}} .

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r^3} = -\frac{3x}{r^5}.$

Положите их обратно в $\partial U/ \partial x$ и вы получаете:

- мю [- \frac{Икс}{р^{3}} + \frac{Икс}{2} {Дж}_{2} р_{Е}^{2} (- 3 \frac{5 г^{2}}{р^{7}} + \frac{3}{р^{5}})]

$-\mu\left[ -\frac{x}{r^3} + \frac{x}{2}J_{2}R_{E}^{2} \left(-3 \frac{5z^2}{r^7} +\frac{3}{r^5}\right)\right]$

- мю [- \frac{Икс}{р^{3}} + \frac{Икс}{2} {Дж}_{2} р_{Е}^{2} (- 3 \frac{5 г^{2}}{р^{7}} + \frac{3 р^{2}}{р^{7}})]

$-\mu\left[ -\frac{x}{r^3} + \frac{x}{2}J_{2}R_{E}^{2} \left(-3 \frac{5z^2}{r^7} +\frac{3r^2}{r^7}\right)\right]$

- мю [- \frac{Икс}{р^{3}} + \frac{Икс}{2} {Дж}_{2} р_{Е}^{2} (- 3 \frac{5 г^{2}}{р^{7}} + \frac{3 ({Икс}^{2} + у^{2} + г^{2})}{р^{7}})]

$-\mu\left[ -\frac{x}{r^3} + \frac{x}{2}J_{2}R_{E}^{2} \left(-3 \frac{5z^2}{r^7} +\frac{3(x^2 + y^2 + z^2)}{r^7}\right)\right]$

На этом этапе я оставлю читателю в качестве упражнения комбинировать термины и прийти к

а_{Икс} "=" - г М \frac{Икс}{| р |^{3}} + г М р_{Е}^{2} {Дж}_{2} \frac{Икс}{| р |^{7}} (6 г^{2} - 1,5 ({Икс}^{2} + у^{2}))

$a_x = -GM \frac{\mathbf{x}}{|r|^3} + GM R_E^2 J_2 \frac{x}{|r|^7} (6z^2 - 1.5(x^2+y^2))$

с использованием $r^2=x^2+y^2+z^2$ , математика и ссылки в этом ответе , а также отношения между размерными и безразмерными (нормализованными, безразмерными) формами $J_2$ описано в разделе Для математической связи между J2 (км ^ 5 / с ^ 2) и безразмерным J2 - какой из них получен из другого? отмечая, что $\mu$ это (по крайней мере, в этом случае) просто другое название продукта $GM$ .

Спасибо за ваш ответ. У меня проблемы с тем, как вы сделали частные производные. Предполагается, что частичное значение r относительно x равно -2x/r^2 , и это . Я думал, что когда вы берете производную, вы вычитаете из мощности только единицу, а не две. Есть ли причина, по которой вы вычли два?
@arah Вот как об этом думать. Единицы $1/r$ являются $length^ {-1}$ и поэтому производная по $length$ лучше иметь единицы $length^{-2}$ . Как я уже упоминал в ответе, я использовал Wolfram Alpha, чтобы помочь с производной, но вы можете сделать это легко, если помните, что $r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ и делай так. Писать $\partial \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}/\partial x = \partial (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}/\partial x$ и идите оттуда, используя цепное правило .
@arah Выражение в вашей первой ссылке $\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r^2}$ , нет $\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r}$ , с $r$ является $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ , нет $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ . Сходным образом, $\frac{\partial }{\partial x}r^{-5}$ является $\frac{\partial }{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-5/2}=-\frac{5x}{r^7}$ , нет $\frac{\partial }{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-5}=-\frac{10x}{r^6}$ .
Привет, да, я понял, что забыл добавить квадратный корень! Спасибо.

Проблема получения прямоугольных составляющих ускорения спутника на орбите вокруг Земли с учетом J2

арах

ооо

арах

ооо

арах

ооо

Ответы (1)

ооо

арах

ооо

Лито

арах

ооо

Определить эксцентриситет орбиты

Найдите наклонение орбиты, учитывая все остальные элементы и положение на эллипсе.

Истинная аномалия круговой орбиты

Как получить большую полуось от TLE?

Почему спутники GPS (но не ГЛОНАСС или Beidou) со временем имеют увеличивающийся эксцентриситет?

Почему мы не можем спускаться с орбиты на землю более плавно? [дубликат]

Если бы на краю Сферы влияния Земли вращался зонд, насколько медленно он вращался бы?

Количество спутников, необходимое для глобального четырехкратного охвата, в зависимости от высоты?

Космическая станция в атмосфере с непрерывной перезагрузкой для сохранения орбиты