Проблема при восстановлении поворота по углам Эйлера

Question

Проблема при восстановлении поворота по углам Эйлера

матрицы
вращения
Математика
тригонометрия

нитрат натрия

У меня есть матрица вращения R:

R=[[-0.22247682, -0.32863132, -0.91788099],
   [-0.01426572, -0.94027818,  0.34010798],
   [-0.9748336 ,  0.08876037,  0.20450194]]

и я хочу разложить это на три вращения, $R_Z(\alpha)R_X(\beta)R_Z(\gamma)$ , где я рассматриваю повороты по часовой стрелке. Затем матрица вращения в терминах этих углов Эйлера определяется выражением

$R=$

[\begin{matrix} потому что α потому что γ - грех α потому что β грех γ & - грех γ потому что α - грех α потому что β потому что γ & грех α грех β \\ грех α потому что γ + грех γ потому что α потому что β & - грех α грех γ + потому что α потому что β потому что γ & - потому что α грех β \\ грех β грех γ & грех β потому что γ & потому что β \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \cos\alpha\;\cos\gamma\;-\;\sin\alpha\;\cos\beta\;\sin\gamma & -\sin\gamma\;\cos\alpha\;-\;\sin\alpha\;\cos\beta\;\cos\gamma\; & \sin\alpha\;\sin\beta \\ \sin\alpha\;\cos\gamma\;+\;\sin\gamma\;\cos\alpha\;\cos\beta\; & -\sin\alpha\;\sin\gamma\;+\;\cos\alpha\;\cos\beta\;\cos\gamma & -\cos\alpha\;\sin\beta\\ \sin\beta\;\sin\gamma & \sin\beta\;\cos\gamma & \cos\beta\\ \end{bmatrix}$

Затем я вычисляю $\beta=\arccos(R_{33})=1.36$ , $\alpha=\arctan(-R_{13}/R_{23})=1.22$ , и $\gamma=\arctan(R_{31}/R_{32})=-1.48$ . В качестве двойной проверки я восстанавливаю матрицу R по этим углам Эйлера и нахожу следующее:

R'=[[ 0.22247682,  0.32863132, -0.91788099],
    [ 0.01426572,  0.94027818,  0.34010798],
    [ 0.9748336 , -0.08876037,  0.20450194]])

Все перепроверил, но не могу найти в чем проблема. Что я мог упустить?

Редактировать: оказывается, проблема с транспонированием была связана с тем, что в моем коде Python была проблема с индексацией. Однако проблемы со знаками все еще сохраняются. Я обновил матрицу R'выше.

Кабина G

Вы уверены в согласованности для направления CW/CCW?

нитрат натрия

@GCab Думаю, да, я вывел формулу для перепроверки. Но в любом случае решение углов Эйлера исходит из матрицы, которую я написал выше.

амд

R^{'} = - R^{T}

$R'=-R^T$ , что говорит о том, что вы получили что-то задом наперед в своих вычислениях.

Джон Алексиу

Использовать

a t a n 2 (y, x)

${\rm atan2}(y,x)$ функция вместо этого.

нитрат натрия

@ ja72 Как определено в C/C++? Что он делает иначе, чем arctan numpy?

Джон Алексиу

@sodiumnitrate, поэтому я привел аргументы. Иногда бывает atan2(dx, dy)и иногда atan2(dy, dx).

Ответы (2)

Проблема при восстановлении поворота по углам Эйлера

Вы уверены в согласованности для направления CW/CCW?
@GCab Думаю, да, я вывел формулу для перепроверки. Но в любом случае решение углов Эйлера исходит из матрицы, которую я написал выше.
$R'=-R^T$ , что говорит о том, что вы получили что-то задом наперед в своих вычислениях.
Использовать ${\rm atan2}(y,x)$ функция вместо этого.
@ ja72 Как определено в C/C++? Что он делает иначе, чем arctan numpy?
@sodiumnitrate, поэтому я привел аргументы. Иногда бывает atan2(dx, dy)и иногда atan2(dy, dx).

Джон Алексиу · Answer 1

Я подтвердил выражение матрицы вращения, но я бы извлекал углы немного иначе, чем вы.

$\gamma = {\rm atan2}(R_{31},\,R_{32}) = -1.4799948857740634$
$\beta = {\rm atan2}( \sqrt{R_{31}^2 +R_{32}^2 }, \,R_{33} ) = 1.3648414591977873$
$\alpha = {\rm atan2}( R_{13},\, -R_{23} ) = -1.9256476493782756$

где atan2(dy,dx)- арктангенс, охватывающий всю единичную окружность.

Реконструкция, таким образом,

R = RZ(1.2159450042115176)*RX(1.3648414591977873)*RZ(-1.4799948857740634) $\checkmark$

Кабина G · Answer 2

1) Ваш расчет углов правильный, если не считать неопределенности в знаках.

От $\cos\beta$ ты можешь вычесть $\pm \beta$ . От $\tan\alpha$ ты можешь вычесть $(\alpha, \alpha -\pi,\alpha +\pi)$ , и то же самое для $\gamma$ .

Затем вы должны проверить предположения с другими элементами исходной матрицы.

Принимая $\beta=1.36$ затем $\cos\beta$ и $\sin\beta$ являются положительными. От $R[1,3]$ и $R[2,3]$ затем следует, что $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ оба будут отрицательными: поэтому $\alpha=1.22-\pi$ .

Для $\gamma=-1.48$ признаки $R[3,1]$ и $R[3,2]$ верны.

2) Матрицы элементарного вращения, определенные в соответствии с этой статьей Википедии, поэтому предварительно умножаются, в частности, против часовой стрелки и вправо, являются

р_{Икс} (α) "=" (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & потому что α & - грех α \\ 0 & грех α & потому что α \end{matrix}) р_{у} (β) "=" (\begin{matrix} потому что β & 0 & грех β \\ 0 & 1 & 0 \\ - грех β & 0 & потому что β \end{matrix}) р_{г} (γ) "=" (\begin{matrix} потому что γ & - грех γ & 0 \\ грех γ & потому что γ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

${\bf R}_{\,{\bf x}} (\alpha ) = \left( {\matrix{ 1 & 0 & 0 \cr 0 & {\cos \alpha } & { - \sin \alpha } \cr 0 & {\sin \alpha } & {\cos \alpha } \cr } } \right)\quad {\bf R}_{\,{\bf y}} (\beta ) = \left( {\matrix{ {\cos \beta } & 0 & {\sin \beta } \cr 0 & 1 & 0 \cr { - \sin \beta } & 0 & {\cos \beta } \cr } } \right)\quad {\bf R}_{\,{\bf z}} (\gamma ) = \left( {\matrix{ {\cos \gamma } & { - \sin \gamma } & 0 \cr {\sin \gamma } & {\cos \gamma } & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } } \right)$

3) Применяя эти матрицы и скорректированные углы, я получаю, что

р_{г} (α) р_{Икс} (β) р_{г} (γ)

${\bf R}_{\,{\bf z}} (\alpha )\;{\bf R}_{\,{\bf x}} (\beta )\;{\bf R}_{\,{\bf z}} (\gamma )$ правильно возвращает начальную матрицу.

Результат, который вы получаете, помимо знаков, представляет собой транспонированную исходную матрицу, что означает, что, вероятно, вы используете неправильные элементарные матрицы.

Спасибо. Разве не должно быть двух случаев: $\{\alpha,\alpha+\pi\}$ ?
@sodiumnitrate: это зависит от соглашения, принятого для диапазона углов: я рассматриваю $-\pi < \alpha \le \pi$ . Кстати, вы узнали, почему вы получаете $\approx$ транспонировать?
Не должен $\cos(\alpha-\pi)=\cos(\alpha+\pi)$ потому что $\cos(x)$ является $2\pi$ -периодический? Транспонирование было ошибкой индексации в моем коде Python, где я назначал элементы матрицы.
@sodiumnitrate: конечно $\cos(\alpha-\pi)=\cos(\alpha+\pi)$ . Сейчас $\arccos(\alpha)$ (обычно) восстанавливается с $0 \le \alpha \le \pi$ верно ? Если $\cos(\alpha)=-1/2$ и $\sin(\alpha)<0$ какой угол вы берете, $4/3 \pi$ или $-2/3 \pi$ ? как сказано выше, я следую конвенции $-\pi < \alpha \le \pi$

Проблема при восстановлении поворота по углам Эйлера

нитрат натрия

Кабина G

нитрат натрия

амд

Джон Алексиу

нитрат натрия

Джон Алексиу

Ответы (2)

Джон Алексиу

Кабина G

нитрат натрия

Кабина G

нитрат натрия

Кабина G

Моделирование одновременного вращения объекта вокруг фиксированной точки при ограниченных ресурсах.

Поворот линейного сегмента в 3D в заданную ориентацию

Связь между матрицей вращения и углами Эйлера

Почему cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)cos⁡(α+β)=cos⁡(α)cos⁡(β)−sin⁡(α) sin⁡(β)\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)−\sin(\alpha)\sin(\beta)?

Учитывая градусы поворота вокруг оси, как вы придумали матрицу вращения?

Преобразование вращения фиксированной оси XYZXYZXYZ в вращение Эйлера ZXZZXZZXZ

От углов Эйлера к матрице вращения: вращение вокруг новых осей или исходных осей?

Численная производная матрицы в зависимости от матрицы вращения

Вращение неединичного вектора к другому неединичному вектору, имеющему общую начальную точку.

Как влияет вращение осей координат на заданный вектор? (матрицы вращения)