Проблема с уравнением движения затухающего маятника?

Недавно я опубликовал вопрос о движении затухающего маятника, однако я подумал, что этот вопрос отличается от проблемы, которую я поднял в своем предыдущем посте, поэтому решил, что лучше сделать еще один пост (просто хотел уточнить, если кто-то думает, что я был делая несколько постов по слишком похожим вопросам).

Я имею дело с затухающим маятником (где сила сопротивления пропорциональна скорости) и прихожу к общему уравнению для затухающего гармонического движения:

θ ¨ + б м θ ˙ + г л θ "=" 0

И меня просят проверить это θ "=" А е − α т есть решение и найти А и α .

Маятник выходит из состояния покоя при максимальной амплитуде θ 0 в нулевое время и находится в патоке, я думал, что граничные условия будут такими:

  • Начать с θ "=" θ 0
  • скорость (и θ ˙ ) начать с 0.

Подставив предложенное решение в общее уравнение для затухающего гармонического движения выше, я получил, что

α "=" б 2 м ± б 2 4 м 2 − г л

так ясно α ≠ 0

И из первого условия я получаю это А "=" θ 0

Однако у меня есть две проблемы:

  1. Я не могу согласовать эти значения со вторым граничным условием, которое θ ˙ "=" 0

  2. Почему есть два решения для альфы? Каков их физический смысл? Я предполагаю, что один соответствует первоначальному увеличению скорости, когда сопротивление fprce мало, а затем другое соответствует медленному времени затухания. Однако я не понимаю, как любое из этих утверждений может быть правдой, если мое уравнение подразумевает, что начальная скорость/угловая скорость моей частицы не равна нулю!

Я думаю, что ваше уравнение движения маятника неверно. Член г/л должен быть умножен на θ .
Размышляя о физическом значении θ , как θ изменение на положительное и отрицательное α ? Затухающая экспонента или положительная экспонента рисуют две разные физические картины. Подумайте об этом, и вы сможете сделать вывод, почему два решения α существуют, и следует ли вам отказаться от одного из них как нефизического решения
α никогда не будет отрицательным. Это будет либо положительное действительное число, либо комплексное число.
@bleuofblue Если б 2 4 м 2 > г л затем α будет иметь два положительных решения. В пределе, что б − > ∞ , два решения будут α "=" 0 и α "=" б м . Никогда не будет положительного экспоненциального увеличения угла тета!

Ответы (1)

Ваш расчет α верно. У тебя есть два α , как и должно быть для однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Тогда общее решение уравнения представляет собой линейную комбинацию:

θ "=" с 1 е − α 1 т + с 2 е − α 2 т

Итак, из первого граничного условия получаем:

с 1 + с 2 "=" θ 0

А второе граничное условие дает:

с 1 α 1 + с 2 α 2 "=" 0

Решение для с 1 , 2 Вы получаете:

с 1 "=" α 2 θ 0 α 2 − α 1
с 2 "=" α 1 θ 0 α 1 − α 2

Касательно ваших вопросов. Это должно решить вашу первую проблему со вторым граничным условием.

Почему есть два решения для альфы?

Потому что это линейное ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение дифференциальных уравнений

Технически вы не предполагали единственного решения. То, что вы сделали, было анзацем, т.е. вы пытались А е − α т является решением. Вы обнаружили, что это решение для двух различных вариантов α . Это означает, что вы нашли два решения ( θ 1 , 2 к дифференциальному уравнению). Поскольку это линейное однородное ОДУ, любая линейная комбинация этих решений также является решением. Обратите внимание, что это включает либо θ 1 или θ 2 только решения, так как один из коэффициентов в линейной комбинации может быть равен нулю. Теперь вам просто нужно доказать (или спросить математика), что это все решения уравнения (которыми они и являются), т.е. любое решение этого ОДУ может быть записано в виде линейной комбинации θ 1 , 2 .

Физическая интерпретация

Скорость (для α 1 ≠ α 2 ):

θ ˙ "=" θ 0 α 1 α 2 α 1 − α 2 ( е − α 1 т − е − α 2 т )

В пределе передемпфирования ( б 2 м ≫ г л ), α 1 ≫ α 2 и из структуры скорости в приведенном выше уравнении видно, что для малых времен ( т ≪ α 1 − 1 ), первая экспонента ( е − α 1 т ) управляет движением (ускорением), а в обратном пределе больших времен ( т ≫ α 2 − 1 ), вторая экспонента управляет движением (замедлением).

Спасибо за ваш ответ! Мне было интересно, почему я получаю два решения, если я изначально предполагал только одно решение (которое я заменил)? Кроме того, почему решение представляет собой линейную комбинацию двух решений, а не одно или другое?
Я добавил еще несколько пояснений выше. Теперь все ясно?
Проблема с уравнением движения затухающего маятника?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v