Ожидаемое значение позиции гармонического осциллятора

Поздравляем! Вы обнаружили, что временная зависимость собственных состояний гармонического осциллятора не похожа на классический осциллятор. Если вам нужно ненулевое математическое ожидание, вы должны подготовить систему в суперпозиции соседних собственных состояний, например

$$|\psi\rangle = c_0 |0\rangle + c_1|1\rangle.$$ Это следствие$x$в зависимости от$a + a^\dagger$.

В любом случае, если вы хотите, чтобы состояние действительно напоминало классический осциллятор, вам следует обратить внимание на когерентные состояния . Есть много способов определить их, один пример, который ясно показывает их сходство с классическим осциллятором, - это перевод на конечное расстояние$d$основное состояние:

$$|\psi\rangle = \exp \left (-\frac{i p d}{\hbar} \right )|0\rangle.$$ Используя картину Гейзенберга, где зависящий от времени оператор$x$является $$x(t) = x(0) \cos \omega t+\frac{p(0)}{m\omega} \sin \omega t$$ и$|\psi\rangle$фиксируется вовремя, вы можете доказать, что математическое ожидание$x(t)$развивается точно так же, как классический осциллятор амплитуды$d$: $$\langle x(t)\rangle = \langle \psi |x(t)|\psi\rangle = d \cos \omega t.$$

Ожидаемое значение равно нулю, потому что существует симметрия между$x$и$-x$. Если вы посмотрите на форму собственных функций ниже, вы увидите, что обе$\psi_0$и$\psi_2$симметричны относительно$y$-ось. Интуитивно это означает, что если вы возьмете математическое ожидание любого из них или их суммы (их сумма будет иметь нетривиальную эволюцию во времени, но вы можете убедить себя, что симметрия будет сохраняться - нет никаких причин для того, чтобы предпочесть одно из них). сторона над другой), ожидаемое значение$x$будет нулевым.

В общем, собственные состояния гармонического осциллятора не склонны к колебательному поведению, которое можно было бы ожидать от классической механики. Однако эта особенность присутствует для когерентных состояний .

Сначала напомним, что$\psi_n(x)$являются независимыми от времени решениями, поэтому нет оснований подозревать, что$\langle x\rangle$должен вести себя как классический осциллятор, поскольку ясно,$\langle n\vert x\vert n\rangle=0$. Теперь может случиться так, что ваше состояние не является собственным энергетическим состоянием, так что плотность вероятности$\vert \Psi(x,t)\vert^2$зависит от времени, но это не означает, что$\langle x\rangle$также будет зависеть от времени: представьте, что шарик мороженого симметрично тает: распределение массы может меняться во времени, но среднее положение мороженого может оставаться постоянным.

Как указывали другие, когерентные состояния, которые представляют собой определенные линейные комбинации$\psi_n(x)$содержащий все$n$значения, имеют средние$\langle x\rangle$это похоже на косинус: подробности см. в ответе на этот вопрос .

В вашем конкретном случае$\langle x\rangle=0$по симметрии. С$\psi_n(x)$является четной функцией для всех четных$n$и нечетная функция для всех нечетных$n$у вас в основном есть

$$\begin{align} \langle x\rangle &= \int dx \left(a^*\psi_0(x)+b^*e^{2i\omega t}\psi_2(x)\right) x \left(a \psi_0(x)+b e^{-2i\omega t}\psi_2(x)\right)\, ,\\ &= aa^*\int dx \psi_0(x)^2 x + (a^* be^{-2i\omega t}+ab^*e^{2i\omega t}) \int dx \psi_0(x)\psi_2(x)\\ & \qquad +bb^* \int dx \psi_2(x)^2 x \tag{1} \end{align}$$ В (1) каждая функция под интегралом нечетна, так как произведения$\psi_0(x)^2, \psi_2(x)^2$и$\psi_0(x)\psi_2(x)$четны, но умножаются на$x$.

Здесь нужно быть немного осторожным с ограничениями, так как они$\pm\infty$, но экспоненциальный множитель$e^{-\lambda x^2/2}$который входит в

$$\psi_n(x)=H_n(\sqrt{\lambda}x)e^{-\lambda x^2/2}$$ заставит интегралы сходиться, и у вас останется нечетная функция, интегрированная между симметричными пределами, что дает$0$по паритету.