Движение снаряда с квадратным сопротивлением

$\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}$В основном у вас есть два ОДУ для решения:

$$\begin{align} \frac{\dd v^\mu}{\dd t}&=\frac{1}{m}F(x^\mu,v^\mu) \tag{1} \\ \frac{\dd x^\mu}{\dd t}&=v^\mu\tag{2} \end{align}$$ что в значительной степени относится к большинству сил в ньютоновской механике. Чтобы решить это численно, вы хотите дискретизировать пространство и время . С такой системой, как (1) и (2), нам действительно нужно беспокоиться только о сокращении времени.

Одной из наиболее стабильных подпрограмм на самом деле является не RK4, а разновидность интеграции чехарды , называемая скоростью verlet . Это превращает (1) и (2) в многоэтапный процесс:

$$\begin{align} a_1^\mu &= F\left(x^\mu_i\right)/m \\ x_{i+1}^\mu &= x^\mu_i + \left(v_i + \frac{1}{2}\cdot a_1^\mu\cdot\Delta t\right)\cdot\Delta t \\ a_2^\mu & =F\left(x^\mu_{i+1}\right)/m \\ v_{i+1}^\mu &= v^\mu_i + \frac{1}{2}\left(a_1^\mu+a_2^\mu\right)\cdot\Delta t \end{align}$$ который на самом деле довольно легко реализовать численно, он буквально просто вызывает функцию для силы, а затем обновляет пару массивов ( x,y,vx,vy).

Ваша проблема отличается тем, что$a^\mu=a^\mu\left(x^\mu,\,v^\mu\right)$, что делает вычисление второго ускорения немного сложным, поскольку$a_2$зависит от$v_{i+1}^\mu$и наоборот. Этот ответ в GameDev (определенно стоит прочитать некоторые числовые аспекты проблемы) предполагает, что вы можете использовать следующий алгоритм

$$\begin{align} a_1^\mu &= F\left(x^\mu_i,\,v_i^\mu\right)/m \\ x_{i+1}^\mu &= x^\mu_i + \left(v_i + \frac{1}{2}\cdot a_1^\mu\cdot\Delta t\right)\cdot\Delta t \\ v_{i+1}^\mu &= v_i^\mu + \frac{1}{2}\cdot a_1^\mu\cdot\Delta t \\ a_2^\mu & =F\left(x^\mu_{i+1},\,v_{i+1}^\mu\right)/m \\ v_{i+1}^\mu &= v^\mu_i + \frac{1}{2}\cdot\left(a_2^\mu-a_1^\mu\right)\cdot\Delta t \end{align}$$ хотя автор этого поста утверждает,

Он не так точен, как метод Рунге-Кутты четвертого порядка (как можно было бы ожидать от метода второго порядка), но намного лучше, чем метод Эйлера или метод наивной скорости Верле без оценки промежуточной скорости, и он по-прежнему сохраняет симплектическое свойство нормального метода. скорость Верле для консервативных сил, не зависящих от скорости.

Поскольку это движение снаряда,$x=y=0$вероятно, является естественным выбором для начальных условий, с$v_y=v_0\sin(\theta)$и$v_x=v_0\cos(\theta)$как обычно.