Проблемы понимания БК с замкнутой струной в действии Полякова

Полчинский [1] указывает в (1.2.30), что

$$X^{\mu}(0,\tau) = X^{\mu}(l,\tau)$$ $$X'^{\mu}(0,\tau) = X'^{\mu}(l,\tau)$$ $$\gamma_{ab}(0,\tau) = \gamma_{ab}(l,\tau)$$ следует предположить. На словах функция$X^{\mu}(\tau,\sigma)$таков, что когда он оценивается в$\sigma = 0$это должна быть та же функция, что и в$\sigma = l$. Поэтому, если мы варьируем функцию$X^{\mu}(\tau,\sigma)$добавив к нему какую-нибудь фиксированную функцию в функциональном пространстве, добавив это же самое к$X^{\mu}(\tau,\sigma)$в$\sigma = 0$должен будет дать тот же результат, который мы получили, добавив то же самое в$X^{\mu}(\tau,\sigma)$в$\sigma = l$. Другими словами, мы можем просто применить$\delta$чтобы, т.е. взять вариант, первое уравнение выше: $$\delta X(0,\tau) = \delta X(l,\tau)$$ так что $$[X' \cdot \delta X]^l_0 = X'(l,\tau) \cdot [\delta X(l,\tau) - \delta X(0,\tau)] = 0$$ так как вещь в скобках равна нулю по нашим рассуждениям выше. Если вы действительно хотите его подтолкнуть, мы можем написать последнее в скобках как $$\delta X(l,\tau) - \delta X(0,\tau) = \delta [X(l,\tau) - X(0,\tau)] = \delta [0] = 0.$$ В большинстве книг просто предполагается, что второе и третье отношения являются очевидными следствиями первого, например, второе на словах говорит, что если функция одинакова в конечных точках, то ее производная в этих конечных точках также должна быть одинаковой, и поэтому они просто говорят, что граничные условия автоматически выполняются для замкнутой строки без записи чего-либо. Поскольку вариация сжимается, можно даже предположить [2] граничные условия $$X^{\mu}(\tau,l) = M^{\mu}_{\nu} X^{\nu}(\tau,0)$$ для$M$некоторая постоянная обратимая матрица такая, что $$X'_{\mu}(\tau,l) \delta X^{\mu}(\tau,l) = X'_{\nu}(\tau,0) (M^{-1})^{\nu}_{\mu} M^{\mu}_{\rho} \delta X^{\rho}(\tau,0) = X'_{\nu}(\tau,0) \delta X^{\nu}(\tau,0)$$ что портит интерпретацию$X^{\mu}$как координаты в пространстве-времени, но в компактификации и т. д., как видите, это может стать актуальным.

Использованная литература:

1. Полчински, «Теория струн», том 1.
2. Блюменхаген, Похоть и Тейссен, «Основные концепции теории струн», 1-е изд.

После ответа Болбтеппа и полезного комментария Голда и некоторого чтения [1] я решил написать этот ответ. Для простоты пусть$X^\mu(\tau, \sigma) := \gamma^\mu(\sigma)$ для фиксированного$\tau$с$\sigma \in [0,l]$. Навязать это$\gamma^\mu(0) =\gamma^\mu(l) = a^\mu$. Определим произвольную деформацию$\gamma^\mu$как функция$F_\gamma ^\mu : [-\epsilon, +\epsilon] \times [0,l] \longrightarrow \mathbb{R}$, такой что:

$$F_{\gamma} ^\mu(\alpha, \sigma) := \gamma^\mu _\alpha (\sigma) \ \text{for fixed $\alpha$} \tag1$$ и $$F_\gamma^\mu(\alpha, \sigma) := \xi^\mu _\sigma(\alpha) \ \text{for fixed $\sigma$}\tag2$$ со следующими условиями:

$$\gamma^\mu _0(\sigma) = \gamma^\mu(\sigma), \ \xi^\mu _0(\alpha) = \xi^\mu_l(\alpha).\tag3$$

The $"\xi"$условия эквивалентны$\gamma^\mu_\alpha (0) = \gamma^\mu_\alpha(l)$, т.е. все деформированные кривые замкнуты и имеют точку пересечения при одних и тех же значениях параметров$\sigma=0, \sigma=l$, но не обязательно встречаются в одной точке с координатами$a^\mu$.

После всего этого определите вариацию$\gamma^\mu$такой, что

$$\delta X^\mu (\tau,\sigma) = \delta \gamma^\mu(\sigma) := \frac{\text{d}\xi^\mu _\sigma}{\text{d}\alpha}(0). \tag4$$

Используя второе условие$(3)$, у нас есть это

$$\delta\gamma^\mu(0) = \frac{\text{d}\xi^\mu _0}{\text{d}\alpha}(0) = \frac{\text{d}\xi^\mu _l}{\text{d}\alpha}(0) = \delta \gamma^\mu(l)$$

В конце концов, мы будем иметь это$\delta X^\mu (\tau,0) =\delta X^\mu (\tau,l)$, по желанию. Фиксация$\sigma$есть возможность расширить$\xi^\mu _\sigma(\alpha)$с разложением Тейлора вокруг$\alpha =0$до первого порядка:

$$\begin{align} \xi^\mu_\sigma(\alpha) &= \xi^\mu _\sigma(0) + \alpha \frac{\text{d}\xi^\mu _\sigma}{\text{d}\alpha}(0) + O(\alpha ^2)\\ &= \gamma^\mu(\sigma) + \alpha \delta \gamma^\mu(\sigma) + O(\alpha ^2) \end{align}$$ точно так же, как упомянутый ответ Джошфизики в моем посте, который немного отличается от большей части литературы, но все же имеет смысл.

Ссылки :

1. Р. Альдрованди, Дж. Г. Перейра. Введение в геометрическую физику , 2-е. изд.