Почему вариация поверхностного члена равна нулю?

Question

Почему вариация поверхностного члена равна нулю?

Физика
пограничные условия
граничные условия
лагранжев формализм
вариационный принцип
классическая теория поля

Hallow_Juan

Мой оригинальный вопрос выглядит так:

Почему уравнения Эйлера-Лагранжа остаются инвариантными, если мы добавляем к действию поверхностный член?

И есть ответ Хавьера:

https://физика.stackexchange.com/a/205585/

У меня есть несколько вопросов по поводу ответа Хавьера, но как новый пользователь я не могу его комментировать, поэтому я должен задать этот вопрос.

В ответ Хавьер сказал:

Предположим, у вас есть лагранжиан $L_0$ и добавьте дивергенцию, чтобы получить $L=L_0+∂_μJ^μ$ . Напомним, что действие (в вашем любимом количестве измерений):
$С "=" \int г Икс л "=" С_{0} + \int г Икс \partial_{мю} {Дж}^{мю} "=" С 0 + \int г С н_{мю} {Дж}^{мю}$ $S=∫dx L=S_0+∫dx ∂_μJ^μ=S0+∫dS n_μJ^μ$ Здесь $S_0$ является интегралом $L_0$ , и $n_μ$ вектор нормали к вашей границе. Уравнения движения являются условием того, что $δS=0$ к первому порядку всякий раз, когда мы делаем изменение в $L$ . Так: $дельта С "=" дельта С_{0} + \int г С н_{мю} дельта ({Дж}^{мю})$ $δS=δS_0+∫dS n_μδ(J^μ)$ Но $J_μ$ строится из полей, для которых нужны уравнения движения. Поскольку по условию вариация полей на границе равна нулю, то и вариация $J_μ$ . Последний член исчезает, и мы получаем $δS=δS_0$ .

Но

дельта {Дж}^{мю} "=" \frac{\partial {Дж}^{мю}}{\partial ф} дельта ф + \frac{\partial {Дж}^{мю}}{\partial (\partial_{ν} ф)} дельта (\partial_{ν} ф)

$\delta J^{\mu }=\frac{\partial J^{\mu }}{\partial \phi }\delta \phi +\frac{\partial J^{\mu }}{\partial(\partial_{\nu}\phi)}\delta (\partial_{\nu}\phi)$ а у нас только

δ ϕ = 0

$\delta \phi=0$ в границе, и вообще у нас нет

δ (\partial_{ν} ϕ) = 0

$\delta (\partial_{\nu}\phi)=0$ , так почему же вариация

J_{μ}

$J_μ$ ноль?

Когда я нашел ответ на свой первоначальный вопрос, я нашел в какой-то книге, которую пишет автор $J^{\mu }$ как $J^{\mu }=J^{\mu }(\phi(x),x)$ , то есть $J^{\mu }$ является лишь функцией $\phi(x)$ и $x$ но не из $\partial_{\nu}\phi$ . Когда мы пишем $J^{\mu }$ таким образом имеем:

дельта {Дж}^{мю} "=" \frac{\partial {Дж}^{мю}}{\partial ф} дельта ф

$\delta J^{\mu }=\frac{\partial J^{\mu }}{\partial \phi }\delta \phi$ и вариация

J_{μ}

$J_μ$ равен нулю из-за

δ ϕ = 0

$\delta \phi=0$ в границе. И мы также можем доказать, что:

(\frac{\partial}{\partial ф} - \partial_{ν} \frac{\partial}{\partial (\partial_{ν} ф)}) (\partial_{мю} {Дж}^{мю}) "=" 0

$\left(\frac{\partial }{\partial \phi }-\partial _{\nu }\frac{\partial }{\partial(\partial_{\nu}\phi)}\right)(∂_\mu J^\mu)=0$ Итак, у нас есть:

\frac{\partial л}{\partial ф} - \partial_{мю} \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} "=" \frac{\partial л_{0}}{\partial ф} - \partial_{мю} \frac{\partial л_{0}}{\partial (\partial_{мю} ф)}

$\frac{\partial L}{\partial \phi }-\partial _{\mu }\frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}=\frac{\partial L_0}{\partial \phi }-\partial _{\mu }\frac{\partial L_0}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$ поэтому уравнение движения инвариантно.

Но в некоторых книгах автор не упоминает условие $J^{\mu }=J^{\mu }(\phi(x),x)$ , так является ли это условие необходимым условием того, что вариация поверхностного члена равна нулю?

Майкл Зайферт

У меня нет полного ответа, но я хотел указать, что вариация поверхностного члена не обязательно равна нулю. В качестве простого примера, где это не так (и где это неисчезающее значение кодирует полезную физическую информацию), см. задачу об упругом стержне, описанную в главе 2.15 книги Ланцоша «Вариационные принципы механики». .

Джерри Ширмер

Если

J^{μ}

$J^{\mu}$ содержит производные полей, значит исходное действие содержало вторые производные полей. Если они не в форме

(\partial^{2} ϕ) (\partial^{2} ϕ)

$(\partial^{2}\phi)(\partial^{2}\phi)$ , вы должны интегрировать их, прежде чем принимать вариант.

Р. Ранкин

@JerrySchirmer Действие Эйнштейна-Гильберта содержит вторые производные, но мы обычно их не интегрируем?

Джерри Ширмер

@R.Rankin: когда вы вычисляете уравнения движения, вы, в конце концов, это делаете (или вы используете трюк Палантини для обработки

Γ_{a b}^{c}

$\Gamma_{ab}{}^{c}$ как независимые поля, что равносильно тому же, поскольку это просто «скрытие производной»)

Р. Ранкин

@JerrySchirmer Я вижу, это также должно быть связано с тем фактом, что в гравитационном псевдотензоре (в любой его форме) вторые производные всегда сокращаются. Спасибо!

Ответы (1)

Почему вариация поверхностного члена равна нулю?

У меня нет полного ответа, но я хотел указать, что вариация поверхностного члена не обязательно равна нулю. В качестве простого примера, где это не так (и где это неисчезающее значение кодирует полезную физическую информацию), см. задачу об упругом стержне, описанную в главе 2.15 книги Ланцоша «Вариационные принципы механики». .
Если $J^{\mu}$ содержит производные полей, значит исходное действие содержало вторые производные полей. Если они не в форме $(\partial^{2}\phi)(\partial^{2}\phi)$ , вы должны интегрировать их, прежде чем принимать вариант.
@JerrySchirmer Действие Эйнштейна-Гильберта содержит вторые производные, но мы обычно их не интегрируем?
@R.Rankin: когда вы вычисляете уравнения движения, вы, в конце концов, это делаете (или вы используете трюк Палантини для обработки $\Gamma_{ab}{}^{c}$ как независимые поля, что равносильно тому же, поскольку это просто «скрытие производной»)
@JerrySchirmer Я вижу, это также должно быть связано с тем фактом, что в гравитационном псевдотензоре (в любой его форме) вторые производные всегда сокращаются. Спасибо!

Qмеханик · Answer 1

ОП спрашивает:

Почему вариация поверхностного члена равна нулю?

Ответ: Предположим, что действие схематически имеет вид
$\begin{matrix} (1) & С "=" С_{1} + Б_{2}, \end{matrix}$ $S=S_1+B_2,\tag{1}$ где $S_1$ является объемным термином и $B_2$ является граничным термином (БТ). (например, в ГР $S_1$ является действием EH и $B_2$ является GHY BT.) Тогда вариация объемного члена имеет вид $\begin{matrix} (2) & дельта С_{1} "=" (объемный термин) + дельта Б_{1}, \end{matrix}$ $\delta S_1~=~(\text{bulk term}) + \delta B_1,\tag{2}$ где $\delta B_1$ является БТ.

Вариации БТ $\delta B_1$ и $\delta B_2$ обычно не должны исчезать. Состояние
$\begin{matrix} (3) & дельта Б_{1} + дельта Б_{2} "=" 0 \end{matrix}$ $\delta B_1+\delta B_2~=~0\tag{3}$ не является автоматическим, но должен быть наложен посредством соответствующего выбора граничных условий (BC), чтобы гарантировать существование вариационной /функциональной производной для $S$ .
Оригинальный вопрос спрашивает:

Почему уравнения Эйлера-Лагранжа остаются инвариантными, если мы добавляем к действию поверхностный член?

Ответ: Это объясняется, например, в моих ответах Phys.SE здесь и здесь . Суть в том, что BT никогда не может изменить уравнения EL. в салоне/объемной точке.

Разве не единственный известный пример классической теории поля, где граничные члены играют важную физическую роль, — это общая теория относительности? И это (IIRC), потому что метрика на границе связана с метрикой на массе? Никакие другие поля не обладают этим специфическим качеством.
@AlexNelson Есть и другие примеры. Ян-Миллс, Черн-Саймонс,... см., например, inspirehep.net/record/567304 . Пограничный термин связан с зарядами и как таковой имеет физическую интерпретацию.
Простой пример см., например, на physics.stackexchange.com/q/138236/2451 .
Спасибо за ответ. Теперь я знаю, что пограничный термин не должен исчезать. Но я до сих пор не могу понять, почему этот нулевой член не меняет уравнения Эйлера-Лагранжа. Я прочитал ваш ответ . Вы сказали, что функциональная производная граничной составляющей действия( $B_2=∫dx ∂_μJ^μ$ ) равно нулю: $\frac{\delta B_2}{\delta \phi}=0$ , потому что «вариационная/функциональная производная — это объект, живущий в объеме (а не на границе), никогда не может быть иным, чем тождественно равным нулю в объеме».
Но если вычислить функциональную производную напрямую, то получится: $\frac{\delta B_2}{\delta \phi}=\left(\frac{\partial }{\partial \phi }-\partial _{\nu }\frac{\partial }{\partial(\partial_{\nu}\phi)}\right)(\partial_\mu J^\mu)$ , а для произвольного $J^\mu$ Я не могу доказать, что этот член равен нулю, если только $J^{\mu }=J^{\mu }(\phi(x),x)$ . Так почему же функциональная производная не равна нулю, если я вычисляю напрямую?
Функциональная производная обращается в нуль. Обратите внимание, что формула для функциональной производной содержит больше членов в случае пространственно-временных производных более высокого порядка.
@Qmechanic Думаю, я понял. Реальное уравнение Эйлера-Лагранжа имеет бесконечный член, который похож на $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}+\cdots +(-1)^s\partial _{\mu_1}\cdots\partial _{\mu_s}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{;\mu_1\dots\mu_s}}+\cdots=0$ , и это уравнение ЭЛ с бесконечным членом равно нулю для произвольной 4-дивергенции $\partial _{\nu}J^{\nu}$ так что уравнение движения остается неизменным при этом дополнительном члене. Это правильно?

Почему вариация поверхностного члена равна нулю?

Hallow_Juan

Майкл Зайферт

Джерри Ширмер

Р. Ранкин

Джерри Ширмер

Р. Ранкин

Ответы (1)

Qмеханик

Алекс Нельсон

аннулировать

Qмеханик

Hallow_Juan

Hallow_Juan

Qмеханик

Hallow_Juan

Qмеханик

Почему уравнения Эйлера-Лагранжа остаются инвариантными, если мы добавляем к действию поверхностный член?

Каков физический смысл утверждения «лагранжиан может быть определен только с точностью до полной производной»?

Почему мой член 4-дивергенции, добавленный к лагранжиану, изменяет уравнение движения?

Необходимость пограничного члена Гиббонса-Хокинга-Йорка (GHY)

Есть ли физический смысл в неединственности принципа наименьшего действия?

Когда числовое значение лагранжиана оценивается на оболочке как полный дифференциал?

Теорема Стокса в действии Эйнштейна-Гильберта

Действие Эйнштейна и вторые производные

Коробчатая форма кинетического члена и уравнение Эйлера-Лагранжа

Почему не все свободные частицы теряют свою кинетическую энергию?