Каков физический смысл утверждения «лагранжиан может быть определен только с точностью до полной производной»?

Если рассматривать аналог потенциальной энергии физической системы, то она может быть единственной с точностью до аддитивной константы, но это можно объяснить тем, что нас действительно интересует изменение потенциальной энергии, а эта аддитивная константа этому не способствует.

Два лагранжиана л и л ′ которые отличаются полной производной w/r на т будут давать те же уравнения движения.
Да понял. Но есть ли какое-то физическое значение, почему это может произойти?
Неофициально , потому что С "=" ∫ л д т , добавляя полную производную к л сродни добавлению константы интегрирования к С . Поскольку уравнения ЭЛ получаются путем изменения С - в основном функциональная производная - эта константа интегрирования просто исчезнет, ​​когда вы возьмете производную.
Да, но дает ли эта полная производная какую-либо дополнительную информацию о системе? (аналогично удалите лишнюю информацию)
кстати, обратите внимание, что это то, что заставляет работать минимальную связь: канонический импульс имеет ту же калибровочную свободу, что и электромагнитный 4-потенциал
Еще один важный момент заключается в том, что функция Ф является функцией обобщенных координат ( д н ) и только время, т.е. Ф ( д н , т ) . А физический смысл в том, что лагранжиан для системы не уникален, а уравнения движения единственны. То же, что и в потенциале В и векторный потенциал А не уникальны, а Е и Б являются.

Ответы (4)

Физический смысл заключается в том, что члены полной производной / дивергенции являются просто граничными членами в действии, а граничные условия фиксируют границу, поэтому они не могут активно входить в принцип стационарного действия или изменять уравнения EL (при условии, что вариационная задача корректна) . См. также соответствующий пост Phys.SE.

Действие, по существу, есть произведение энергии (в системе) на время (параметр эволюции). Но энергия не имеет значения; только его отличия. Вот почему действие ведет себя как потенциал и определяется только по модулю аддитивной константы (которая должна соответствовать граничному члену, исходящему от полной производной по времени). Таким образом, имеет значение только вариация действия.

Принцип Гамильтона — это утверждение о действии

С "=" ∫ т 1 т 2 д т   л

это означает, что какую бы динамику вы из этого ни выводили, она основана на том, что дельта С "=" 0 . Имея это в виду, представьте, что для лагранжиана л вы определяете новый функционал вида л ′ "=" л + д Ф / д т , так что действие становится

С ′ "=" ∫ т 1 т 2 д т   л ′ "=" ∫ т 1 т 2 д т   л + ∫ т 1 т 2 д т   д Ф д т "=" С + [ Ф ( т 2 ) − Ф ( т 1 ) ]

и ясно

дельта С ′ "=" дельта С

поэтому динамика получается одинаковая. То есть, всегда можно изменить лагранжиан, добавив производную и динамика останется той же.

Мы используем лагранжианы для построения уравнений движения, а уравнения движения — для построения измеримых предсказаний того, как система будет развиваться с течением времени. Таким образом, лагранжианы кодируют своего рода мета-шаблон в процессе построения предсказания, и делают это достаточно эффективно с большой гибкостью в том, как описывается система. Если два лагранжиана во всех случаях дают одни и те же уравнения движения, то различие между ними есть различие без различия. Аналогично, хотя и сложнее, утверждению А + Б "=" Б + А .

Каков физический смысл утверждения «лагранжиан может быть определен только с точностью до полной производной»?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v