Используя граничные условия конечных точек открытых строк, а затем получите EOM

Question

Используя граничные условия конечных точек открытых строк, а затем получите EOM

действие
Физика
струнная теория
граничные условия
лагранжев формализм
вариационный принцип

Милу

В «Первом курсе теории струн» Цвайбаха он использовал принцип наименьшего действия, чтобы получить уравнения движения струн, где изменение действия (которое должно быть равно нулю):

дельта С "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т [дельта {Икс}^{мю} п_{мю}^{о}]_{0}^{о_{1}} - \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т \int_{0}^{о_{1}} д о дельта {Икс}^{мю} (\frac{\partial п_{мю}^{т}}{\partial т} + \frac{\partial п_{мю}^{о}}{\partial о})

$\delta S = \int_{\tau_i}^{\tau_f} d\tau [\delta X^\mu \mathcal{P}^\sigma_\mu]^{\sigma_1}_0 - \int_{\tau_i}^{\tau_f} d\tau \int_0^{\sigma_1} d\sigma \delta X^\mu \left(\dfrac{\partial \mathcal{P}^\tau_\mu}{\partial \tau}+ \dfrac{\partial \mathcal{P}^\sigma_\mu}{\partial \sigma} \right)$ Затем он наложил граничные условия для концов открытых струн (Дирихле и Неймана), чтобы первый член обратился в нуль; а потом он сказал, что и второй член тоже должен исчезнуть. Таким образом, мы получили уравнения движения:

\frac{\partial п_{мю}^{т}}{\partial т} + \frac{\partial п_{мю}^{о}}{\partial о} "=" 0

$\dfrac{\partial \mathcal{P}^\tau_\mu}{\partial \tau}+ \dfrac{\partial \mathcal{P}^\sigma_\mu}{\partial \sigma} =0$ Которые предназначены как для открытых, так и для закрытых строк.

У меня три вопроса:

Как мы можем считать, что это уравнения движения для замкнутых струн, которые вообще не имеют граничных условий?
Конечная точка строки может иметь граничное условие Дирихле или Неймана, но не оба.
И две конечные точки открытой строки могут иметь разные граничные условия, так как же логично наложить два условия, чтобы получить EOM?

Ответы (1)

Используя граничные условия конечных точек открытых строк, а затем получите EOM

Qмеханик · Answer 1

Для закрытой строки $\cong S^1$ , границы нет, а значит, нет и граничного условия (ГУ). То же самое, если мы думаем о струне, живущей на $\mathbb{R}$ , его можно рассматривать как периодический БК. Граничный член в уравнении. (1) поэтому в любом случае обращается в нуль. Следовательно, объемный член в уравнении. (1) по-прежнему должен быть равен нулю.
Для открытой строки $\cong I\cong[0,\sigma_1]$ , есть два способа сделать продукт $\mathcal{P}^\sigma_{\mu}~ \delta X^\mu =0$ нуль:
- (i) Выбор $X^\mu={\rm const}$ соответствует Дирихле до н.э., и
- (ii) выбор $\mathcal{P}^\sigma_{\mu}=0$ соответствует BC Неймана.
Границы $\sigma=0$ и $\sigma=\sigma_1$ независимы, поэтому можно выбрать, скажем, Дирихле до н.э. $\sigma=0$ и Neumann BC в $\sigma=\sigma_1$ .

Хорошо, теперь ясно для открытых строк, спасибо! но не могли бы вы рассказать мне больше о закрытых струнах, я еще не понял.
пожалуйста, извините меня, если мой вопрос не такой умный, но я сам изучаю эти новые вещи. Откуда мы знаем, что первое слагаемое является граничным, а второе — объемным?
@Milou: потому что пространственная координата мирового листа $\sigma$ может принимать только значения $0$ и $\sigma_1$ в первом сроке, а во втором таких ограничений нет.

Используя граничные условия конечных точек открытых строк, а затем получите EOM

Милу

Ответы (1)

Qмеханик

Милу

Qмеханик

Милу

Qмеханик

Вывод действия Полякова

Почему не все свободные частицы теряют свою кинетическую энергию?

Каков физический смысл утверждения «лагранжиан может быть определен только с точностью до полной производной»?

M-теория с ее 3-формой HHH и проблема отсутствия лагранжиана

Поляков Из Намбу-Гото Напрямую, для струнных?

Является ли принцип наименьшего действия краевой задачей или задачей с начальными условиями?

Вывод Гольдштейна «принципа наименьшего действия»

Континуальный предел уравнения Эйлера-Лагранжа для плотности лагранжиана одномерной гармонической решетки

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжиана с зависимостью от производных второго порядка

Универсальность принципа наименьшего действия, почему он работает? [дубликат]