Уравнения Гамильтона из действия с граничными условиями, включающими положение и импульс

I) В общем, для данного выбора граничных условий важно скорректировать действие с совместимыми граничными условиями/членами полной дивергенции, чтобы обеспечить существование вариационной/ функциональной производной . Как отмечает ОП, проблема заключается (при выводе выражения Эйлера-Лагранжа ) в том, что обычное интегрирование по частям терпит неудачу, если граничные условия (BC) и граничные условия (BT) несовместимы.

II) Конкретно, для смешанных БК

$$\tag{1} q(t_i) ~=~ q_i \qquad\text{and}\qquad p(t_f) ~=~ p_f,$$

который считает OP, нам нужно подготовить стандартное гамильтоново действие

$$\tag{2} S_0[p,q] ~=~ \int_{t_i}^{t_f} \! dt ~ \left\{ p\dot{q} -H \right\}$$

с полным дивергентным членом$-\frac{d}{dt}(p_f q)$. Новое действие становится

$$\tag{3} S[p,q] ~=~ \int_{t_i}^{t_f} \! dt ~ \left\{ (p-p_f)\dot{q} -H \right\} ,$$

или то же самое,

$$\tag{4} S[p,q] ~=~ \int_{t_i}^{t_f} \! dt ~ \left\{ \dot{p}(q_i-q) -H \right\}.$$

Несложно использовать BC (1), чтобы показать, что действия (3) и (4) равны.

III) Теперь, когда мы изменим действие (3)

$$\tag{5} \delta S[p,q] ~=~ \left[ (p-p_f)\delta q\right]_{t_i}^{t_f}+ \int_{t_i}^{t_f} \! dt ~ \left\{ (\dot{q} -\frac{\partial H}{\partial p})\delta p -(\dot{p}+\frac{\partial H}{\partial q})\delta q\right\},$$

BC (1) сокращает полный член производной

$$\tag{6} \left[ (p-p_f)\delta q\right]_{t_i}^{t_f}~\stackrel{(1)}{=}~0,$$

так что вариант (5) содержит только объемные члены. Соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа становятся уравнениями Гамильтона.

IV) Приведенный выше пример можно обобщить на другие BC. Мы оставляем читателю возможность определить совместимые БТ.