Градиентная форма [дубликат]

Я думаю, ваше последнее предложение показывает, что вы на правильном пути. Одна форма — это линейный функционал , который отображает векторы в действительные числа. Вы даете ему вектор в качестве входных данных, и, как вы говорите, он возвращает скорость изменения в подразумеваемом направлении.

Допустим, у нас есть путь, касательная которого в точке определяется вектором$v^j\,\partial_j$- дифференциальный оператор, действующий на гладком скалярном поле$\psi$и возвращает полную производную$\mathrm{D}_v\psi = v^j\,\partial_j\,\psi$. Одна форма$\mathrm{d}u$, будучи линейным однородным функционалом векторов, полностью определяется своими значениями в базисных векторах, т. е. своими значениями$u_1,\,u_2,\,\cdots$в базисных касательных векторах$\partial_1,\,\partial_2,\,\cdots$(в компонентах последние$(1,0,0,\cdots),\, (0,1,0,\cdots),\,\cdots$)

Ну градиент$\nabla\phi$просто такой зверь. Его значение, когда мы вводим касательный вектор$\partial_j$с компонентами$(0,0,,\cdots,1,\,\cdots)$(с одной "1" в$j^{th}$позиции) значение функционала равно$\partial\phi/\partial x^j$.

Мы просто суммируем эти базисные значения суперпозицией: возьмем скалярный продукт с вектором$(v^1,\,v^2,\,\cdots)$чтобы найти значение функционала, и ваше значение равно$v^j\,\partial\phi/\partial x^j$- общая скорость изменения$\phi$в направлении, подразумеваемом$\vec{v}$.

Мне также нравится визуализация одной формы Шютцем как системы гиперплоскостей: значением является скорость, с которой вектор проходит через гиперплоскости. Классической, прототипической формой является волновое число, где вы представляете фазовые фронты. Скорость, с которой вектор$\vec{r}$пробивает фазовые фронты$k(\vec{r})$; в оптике мы часто упускаем это из виду и трактуем$k(\cdot)$как вектор. Если мы хотим согласовать это с вышеизложенным, мы понимаем, что волновое число имеет смысл как скалярное произведение , поэтому волновой вектор в оптике, если бы мы проводили вычисления в искривленном пространстве, представляет собой форму одной формы волнового числа, преобразованную в вектор путем повышения его индекса. с метрикой:$\vec{k}$мы кен и любим в оптике это на самом деле "заточенный"$\vec{k} = k()^\sharp$(сокращение от повышения индекса), так что$\vec{k}^\mu = g^{\mu\,\nu}\,k(\cdot)_\nu$. Я думаю, вам было бы полезно прочитать и подумать о волновом числе в пространстве-времени Минковского .