Пропагаторы и вероятности в картине Гейзенберга

Это смесь пространственно-временного распространения и пространственного распространения. Ваш формальный аргумент проясняется путем введения явного времени в полях:

$$|x\rangle = \phi(x,0)|0\rangle$$

Эта часть является определением: вы определяете состояние слева как состояние справа. Не совсем правильно интерпретировать это как локализованное состояние, как я объясню ниже, но сначала проясню формальную путаницу.

Затем вы хотите спросить, какова вероятность того, что частица из точки x в момент времени 0 доберется до точки y в момент времени t. Вы применяете оператор эволюции времени:

$$U(t) |x\rangle = e^{-iHt} \phi(x,0)|0\rangle$$

Затем вы спрашиваете, какое совпадение этого с государством$|y\rangle$:

$$\langle y | U(t) |x\rangle = \langle 0 | \phi(y,0) e^{-iHt} \phi(x,0)|0\rangle$$

Но помните, что гейзенберговский t-зависимый полевой оператор:

$$\phi(y,t) = e^{iHt} \phi(y,0) e^{-iHt}$$

Таким образом, указанное выше равно:

$$\langle y | U(t) |x \rangle = \langle 0 | e^{-iHt} \phi(y,t) \phi(x,0)|0\rangle$$

А теперь используйте тот факт, что вакуум является собственным состоянием с нулевой энергией, и вы сделаете вывод, что пропагатор равен корреляционной функции. Это формальный вывод.

Проблема только в том, что состояние, которое я определил как локализованное состояние

$$|x\rangle = \phi(x) |0\rangle = \int {d^dk\over (2\pi)^d (2\omega_k)} \sqrt{(2\pi)^d 2\omega_k} ||k\rangle$$

где$||k\rangle$является нормализованным k-состоянием (причина, по которой я написал это так, заключается в том, что обе части, мера и k-состояние, релятивистски ковариантны таким образом --- это релятивистская нормализация), не может интерпретироваться как трехмерная локализованная частица. Это состояние не имеет нулевого перекрытия с пространственноподобно разделенными$\langle y|$.

$$\langle y | x \rangle \ne 0$$

для x, отличного от y. Пропагатор не обращается в нуль на пространственноподобных расстояниях. Это означает, что государства$|x\rangle$не являются собственными значениями оператора положения.

Исторически это сбивало людей с толку до бесконечности, пока Фейнман и Швингер не объяснили это. Картина частицы находится не только в пространстве, она находится в пространстве-времени, и тогда можно рассматривать состояние$|x\rangle$как локализованная в пространстве-времени частица, которая распространяется в пространстве-времени назад и вперед. Только в нерелятивистском пределе все распространение происходит вперед во времени, и в этом случае у вас есть нормальный оператор x, и все обычные квантовые вещи выполняются. В релятивистском случае свободная корреляционная функция представляет собой амплитуду перехода от x к y зигзагообразно во времени, что объясняется представлением Швингера.

$$\langle y | x\rangle = \int {1\over (2\pi\tau)^{d\over 2}} e^{-(x-y)^2\over 2\tau}\tau$$

Что выполняется в мнимом времени. Представление Швингера представляет собой формализм пути частиц для релятивистских квантовых полей, и оно эквивалентно картине пропагатора Фейнмана для взаимодействий частиц, а также эквивалентно квантовой теории поля в гамильтоновой или лагранжевой структуре.

Штат$\phi(x)|0\rangle$, где$x=x^\mu$, уже развивается во времени (или зависит от времени). Применение оператора эволюции$e^{\pm i H t }$просто смещает состояние во времени. Поэтому нет необходимости выполнять этот шаг.

Все остальные ваши шаги кажутся правильными.

Плотность Лагранжа для поля Клейна-Гордона:

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2$$

а гамильтониан определяется как:

$$H = \int d^3x [\pi(\textbf{x})\dot{\phi}(\textbf{x})-\mathcal{L}]$$

где

$$\pi(\textbf{x}) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}(\textbf{x})}$$

в вашем гамильтониане есть неявная временная зависимость. Следовательно, эволюция во времени не так проста, как применение$e^{iHT}$. Вы столкнетесь со сложными вещами, такими как серия Dyson.

Почему$\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle$является распространителем, аргумент очень прост: думайте об операторах поля как о операторах создания и уничтожения (поскольку они не что иное, как их линейные комбинации). Идея, стоящая за тем, чтобы назвать эту величину пропагатором, состоит в том, что вы разрушаете состояние в момент времени.$y$и создание одного в$x$. Следовательно, частица, распространяющаяся из$y$к$x$. Но у меня есть подозрение, что вы это уже знали и просто хотели согласовать это с квантовой механикой; Я упомянул это на всякий случай, если вы не знали.