Вопрос о лагранжиане поля Клейна-Гордона

Я изучал поле Клейна-Гордона с помощью Peskin QFT. Я знаю, что гамильтониан скалярного поля можно записать как

ЧАС "=" ∫ г 3 Икс [ 1 2 π 2 + 1 2 ( ∇ ф ) 2 + 1 2 м 2 ф 2 ]
Однако, когда в книге вычисляется временная зависимость π , уравнение движения Гейзенберга записывается так, как показано на рисунке ниже.введите описание изображения здесь

На изображении гамильтониан отличается от приведенного выше. Конкретно, 1 2 ( ∇ ф ) 2 стал − 1 2 ф ∇ 2 ф . Как это возможно?

Интегрируйте по частям и игнорируйте граничный член.
Довольно часто в физике, когда знак минус под интегралом появляется из ниоткуда, автор спокойно проинтегрировал по частям и отбросил граничный член.

Ответы (1)

Сначала интегрируем по частям

( ∇ ф ) 2 "=" ∇ ⋅ ( ф ∇ ф ) − ф ∇ 2 ф .

Затем используйте теорему Гаусса

∭ г В ∇ ⋅ ( ф ∇ ф ) "=" ∬ г С ф ∇ ф .

Мы всегда предполагаем, что поле ф стремится к нулю в бесконечности, поэтому этот «граничный член» игнорируется, и вы получаете ( ∇ ф ) 2 "=" − ф ∇ 2 ф под интеграл.

Вопрос о лагранжиане поля Клейна-Гордона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v