Отсутствие вероятности для уравнения Клейна-Гордона

Дэвид Бом в своей замечательной монографии «Квантовая теория» в разделе 4.6 обсуждает трудности, с которыми приходится сталкиваться при попытке разработать релятивистскую квантовую механику. Он исходит из отношения

ℏ 2 ю 2 "=" м 2 с 4 + ℏ 2 к 2 с 4
(что эквивалентно классическому соотношению Е 2 "=" м 2 с 4 + п 2 с 2 ), из которого выводится (действуя, как в разделе 3.19) уравнение второго порядка ( уравнение Клейна-Гордона ):
∂ 2 ψ ∂ т 2 "=" с 2 Δ ψ − м 2 с 4 ℏ 2 ψ .
Затем он пытается определить функцию вероятности п с привлечением ψ и его частичные драйверы ∂ ψ ∂ т , ∂ ψ ∂ Икс я :
п ( Икс , т ) "=" ℏ 2 | ∂ ψ ∂ т | 2 + ℏ 2 с 2 | ∇ ψ | 2 + м 2 с 4 | ψ | 2 ,
которое, как видно, имеет интеграл ∫ п ( Икс , т ) г Икс который сохраняется во времени. Во всяком случае, Бом говорит, что эта функция не дает физически приемлемой вероятности, поскольку, если мы выберем, например, ψ "=" опыт ⁡ я ( Е т − п ⋅ Икс ℏ ) , мы получаем
п ( Икс , т ) "=" Е 2 + п 2 с 2 + м 2 с 4 "=" 2 Е 2 ,
так что п ведет себя как (4,4)-компонента тензора ранга 2. Отсюда он заключает, что при преобразовании Лоренца интеграл ∫ п ( Икс , т ) г Икс преобразуется как энергия, то есть как четвертый компонент четырехвектора, поэтому он не является инвариантным (доказательство последнего утверждения см. в моем посте Тензоры и уравнение Клейна-Гордона ).

Затем Бом заявляет без доказательства, что невозможно определить какую-либо (разумную) функцию плотности вероятности, используя решение ψ приведенного выше волнового уравнения и его частных производных, которое инвариантно относительно преобразования Лоренца.

Кто-нибудь знает какую-то вескую причину, почему это так?

Практически любые вводные лекции по КТП объяснят проблемы, связанные с использованием этого уравнения. Если вы погуглите Майкла Люка, Дэвида Тонга или М. Средненицкого, PDF-версии их лекций охватывают все это в первых трех главах.

Ответы (1)

Я обнаружил, что Каземи, Хашамипур и Барати в своей работе Плотность вероятности релятивистских бесспиновых частиц сумели найти в одномерном случае физически приемлемую функцию вероятности для уравнения Клейна-Гордона. Эта функция вероятности удовлетворяет всем свойствам осмысленной функции вероятности, и, в частности, ее интеграл является лоренц-инвариантным.

Во всяком случае, эта функция вероятности не опровергает утверждение Бома, поскольку п ( Икс , т ) не зависит от ψ ( Икс , т ) и значения частных производных ψ рассчитано в ( Икс , т ) , но это функционал ψ , то есть зависит от всей функции ψ . Таким образом, эта функция вероятности не является контрпримером к утверждению Бома.

Наконец, я нашел очень интересную работу « Уникальность сохраняющихся токов в квантовой механике» Питера Холланда, в которой показано, что по существу единственный сохраняющийся четырехвекторный ток Дж существует для уравнения Клейна-Гордона, имеющего ковариантные компоненты

Дж мю "=" я ℏ 2 м ( ψ * ∂ мю ψ − ψ ∂ мю ψ * ) .

Этот ток соответствует обычно определяемому для уравнения Клейна-Гордона. Его составляющая плотности п "=" я ℏ 2 м ( ψ * ∂ ψ ∂ т − ψ ∂ ψ * ∂ т ) , Мы видим, что п не удовлетворяет свойству п ≥ 0 так что утверждение Бома следует.

Тем не менее мы должны заметить, что Холланд в своем доказательстве исходит из того, что Дж зависит только от ψ и его первые производные, что является предположением, не сделанным Бомом явно, хотя и вполне правдоподобным (см. аргумент, приведенный Холландом в его работе для обоснования требования, чтобы сохраняющиеся токи зависели исключительно от «переменных состояния»).

Отсутствие вероятности для уравнения Клейна-Гордона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v