Простая проблема ОДУ в статье Питера Лакса 1964 года

Статья Питера Д.Лакса «Развитие особенностей решений нелинейного гиперболического уравнения в частных производных» (1964). Он начинается с простой теоремы об ОДУ.

Теорема: Пусть$z(t)$быть решением задачи о начальных значениях

$$dz/dt =a(t)z^2,\ \ \ z(0)=m$$ в интервале$(0,T)$. Предположим, что функция$a(t)$удовлетворяет неравенству $$0<A<a(t),\ \ \ \ \ \ 0\leq t\leq T,$$ и предположим, что$m$положительный;

затем

$$T<(mA)^{-1}$$

доказательство Лакса после

Позволять$z_0(t)$быть решением уравнения сравнения

$$dz_0/dt=Az_0^2,\ \ \ z_0(0)=m.$$

Поскольку A является нижней границей для$a(t)$, легко следует, что$z_0(t)$является нижней границей для$z(t)$для всех положительных t.

С$z_0=m/(1-mAt)\rightarrow \infty\ \ at\ \ t=(mA)^{-1}$, следует, что$z(t)$не может существовать вне этого времени.$Q.E.D$

Я пытаюсь проверить: «Поскольку A является нижней границей для$a(t)$, легко следует, что$z_0(t)$является нижней границей для$z(t)$для всех положительных t." таким образом.

Для доказательства этого я думаю следующая лемма.

(Моя лемма) пусть$g:[0,T)\rightarrow \mathbb{R}$быть функцией, которые следующие;

я)$g(0)\geq 0$; ii)$g'(0)>0$; то есть$\forall \epsilon>0,\ \exists \delta>0$ул.$0<t<\delta$подразумевать$|\frac{g(t)-g(0)}{t}-g'(0)|<\epsilon$

затем$\exists T^*\in (0,T)$ул.$g(t)\geq 0\ \ for\ t \in [0,T^*)$

доказательство) По моему предположению, пусть$\epsilon= g'(0)/2$тогда существует$\delta>0$ул.$t\in(0,\delta)$

$$|\frac{g(t)-g(0)}{t}-g'(0)|<g'(0)/2$$

поэтому

$$g'(0)/2<[g(t)-g(0)]/t<3g'(0)/2\ \ \ for \ t \in (0,\delta)$$ $$g(t)>g'(0)t/2+g(0)>0\ \ for\ t\in(0,\delta)$$ потому что$g(0)\geq 0$,$g(t)\geq0\ \ \ \ for\ \ \ t \in [0,\delta)$. позволять$\delta= T*$затем делается доказательство.

Теперь докажите, что «Поскольку A является нижней границей для$a(t)$, легко следует, что$z_0(t)$является нижней границей для$z(t)$для всех положительных t".

претензия) пусть$z(t),z_0(t)$тогда удовлетворите приведенное выше предложение$z_0(t)\leq z(t)$для$t \in [0,T)$.

(моё доказательство) пусть$g(t)=z(t)-z_0(t)$для$t \in [0,T)$затем$g(0)=m-m=0, g'(0)=(a(0)-A)m^2>0$поэтому$g(t)$удовлетворить предложение моей леммы. поэтому$\exists T^*\in (0,T)$ул.$t \in [0,T^*)$подразумевать$g(t)\geq 0$.

на самом деле,$g(t)>0$для$t\in(0,T^*)$. поэтому$z(t)\geq z_0(t)$для$t \in [0,T^*)$,$z(t)> z_0(t)$для$t\in(0,T^*)$.

Теперь для противоречия предположим, что существуют$T_p \in [T^*,T)$ул.$z_0(T_p)>z(T_p)$; то есть$g(T_p)<0$.

Тогда существуют$T_1\in [T^*,T_p)$я)$g(T_1)=0$; ii)$g(t)>0$для$t\in (0,T_1)$III)$\exists \eta>0$ул.$g(t)<0$для$t\in(T_1,T_1+\eta)$

то есть) существуют$T_1$который$g(t)$сначала пройти от положительного значения к отрицательному значению.

то мы можем найти противоречие, в$t=T_1$,$g'(T_1)=a(T_1)z(T_1)^2-A z_0(T_1)^2=(a(T_1)-A)z_0(T_1)^2>0$Обратите внимание, что$z_0(T_1)= m/(1-mAt)>0$

по моей лемме существуют$T^{**}\in (T_1,T)$ул.$t\in [T_1,T^{**})$подразумевать$g(t)\geq 0$;

поэтому$z(t)-z_0(t)=g(t)\geq 0 \ \ \forall t\in [0,T)$.$z_0 is lower bound of z.$

это мое доказательство,

но я думаю, что в моем доказательстве есть некоторые ошибки.

во-первых, z является решением для$dz/dt=a(t)z^2, \ \ \ z(0)=m$в$(0,T)$но я использую$z'(0)-z_0'(0)>0$для моего доказательства, однако$z'$не определяется для$t=0$

во-вторых, я использую "существуют$T_1$который$g(t)$сначала пройти от положительного значения к отрицательному значению.", но на самом деле я не знаю, как пояснить это предложение.

Если у вас есть идеи, чтобы прояснить мое доказательство, или если у вас есть идея получше, чтобы доказать, что «Поскольку A является нижней границей для$a(t)$, легко следует, что$z_0(t)$является нижней границей для$z(t)$для всех положительных t.",

пожалуйста, помогите мне.